Cotangente

La cotangente, de symbole usuel cot ou cotan (autrefois cotg), est une fonction trigonométrique.

Cotangente

Graphe de la fonction cotangente.

Notation	$\cot$
Dérivée	$-\csc ^{2}=-{\frac {1}{\sin ^{2}}}$
Primitives	$\ln \sin +{\text{ cte}}$

Principales caractéristiques

Ensemble de définition	$\mathbb {R} \setminus \{k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} \}$
Ensemble image	$\mathbb {R}$
Parité	impaire
Périodicité	$\pi$

Particularités

Asymptotes	$x=k\pi ,\,k\in \mathbb {Z}$
Zéros	${\frac {\pi }{2}}+k\pi ,\,k\in \mathbb {Z}$
Points d'inflexion	${\frac {\pi }{2}}+k\pi ,\,k\in \mathbb {Z}$

Définition

Géométriquement, dans un triangle rectangle $ABC$ d'hypoténuse $[AB]$ :

$\cot {\widehat {A}}=\mathrm {\frac {AC}{BC}}$.

En trigonométrie :

$\cot \theta ={\cos \theta \over \sin \theta }={1 \over \tan \theta }$.

Propriétés

La fonction cotangente vérifie l'égalité :

$1+\cot ^{2}x=\csc ^{2}x$.

Dérivée

La dérivée de la cotangente est :

$\cot 'x=-\csc ^{2}x$.

Primitive

Les primitives de la cotangente sont définies par :

$\int \cot x\,\mathrm {d} x=\ln(\sin x)+C$.

Développement en série

On a le développement en série de Laurent, où $B_{k}$ désigne le $k$^e nombre de Bernoulli

$\cot x=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}$,

mais aussi :

$\pi \cot(\pi x)={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-n^{2}}}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{x+n}}$,

dont on déduit :

$\cot(x)={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-n^{2}\pi ^{2}}}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{x+n\pi }}$.

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Cotangent », sur MathWorld

• Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes :

  • Britannica
  • Enciclopedia De Agostini
  • Treccani