Courbe du dragon d'or

La courbe du dragon d'or est une variante de la courbe du dragon. La particularité de cette fractale est que sa dimension de Hausdorff est égale au nombre d'or.

Courbe du dragon d'or avec son symétrique par rapport à la base.

Construction

Comme la courbe du dragon, la courbe du dragon d'or peut être définie par un système de fonctions itérées, à partir d'un triangle de côtés de longueur $AB=1,AC=r,CB=r^{2}$ (pour la courbe du dragon c'est un triangle isocèle rectangle en $C$). Les deux fonctions sont les deux similitudes directes transformant $(A,B)$ en $(A,C)$ et $(B,C)$ respectivement.

Premières itérations.

La dimension de Hausdorff de cette fractale est alors $d$ défini par $r^{d}+r^{2d}=1$, d'où $r^{d}$ solution positive de $x^{2}+x=1$, soit $r^{d}={\frac {1}{\varphi }}$ ; comme on souhaite $d=\varphi$, le nombre d'or, on obtient $r={\frac {1}{\varphi ^{\frac {1}{\varphi }}}}$.

L'angle en $A$, obtenu par le théorème d'Al-Kashi , vérifie $\cos A={\frac {1+r^{2}-r^{4}}{2r}}$, donnant un angle $A\approx 47^{\circ }$; on obtient de même $\cos B={\frac {1+r^{4}-r^{2}}{2r^{2}}}$ donnant $B\approx 33^{\circ }$, d'où $C\approx 100^{\circ }$.

Un programme maple de construction

Quinzième itération obtenue par le programme ci-contre.

f:=(1+sqrt(5.))/2:r:=1/f^(1/f):c:=(1+r^2-r^4)/2/r:

dragonor:=proc(A,B,n)

if n=0 then [A,B] else C:=A+(B-A)*(c*r+sqrt(1-c^2)*r*I):

dragonor( A,C, n-1), dragonor(B,C, n-1)  fi end:                                                                                                                           

plot(map(X ->map(z ->[Re(z),Im(z)],X),[dragonor(0,1,15)]),axes=none,color=red,scaling=constrained);

Voir aussi

Articles connexes

• Terdragon
• Terpapillon
• Liste de fractales par dimension de Hausdorff