Critère de Nagumo

Dans le cadre des équations différentielles, le critère de Nagumo est un critère suffisant d'unicité locale d'une solution à un problème de Cauchy. Joint au théorème d'existence locale de Cauchy-Peano-Arzelà, il assure donc la même conclusion que le théorème de Cauchy-Lipschitz, sous des hypothèses différentes.

Il a été énoncé par Mitio Nagumo^[1].

Énoncé

Soit $f$ une fonction continue à valeurs dans un espace vectoriel normé E, définie sur un cylindre fermé S = [t₀ – c, t₀ + c] × B(u₀, r) de ℝ × E.

Si $f$ vérifie sur S la condition

| t - t_{0} | ‖ f (t, u) - f (t, v) ‖ \leq ‖ u - v ‖,

alors deux solutions quelconques du problème de Cauchy

u^{'} = f (t, u), u (t_{0}) = u_{0}

coïncident sur tout sous-intervalle de [t₀ – c, t₀ + c] où elles sont définies toutes deux.

Démonstration

Soient u et v deux solutions du problème de Cauchy, définies par exemple sur un intervalle [t₀, t₁] avec t₁ > t₀, montrons^[2] que u = v.

La fonction g définie sur cet intervalle par

g (t) = ‖ u (t) - v (t) ‖ = ‖ \int_{t_{0}}^{t} f (s, u (s)) - f (s, v (s)) d s ‖

est nulle en t₀, mais aussi de dérivée (à droite) nulle en t₀, puisque quand t → t₀⁺,

\frac{g (t)}{t - t_{0}} = ‖ \frac{u (t) - u_{0}}{t - t_{0}} - \frac{v (t) - u_{0}}{t - t_{0}} ‖ ⟶ ‖ u^{'} (t_{0}) - v^{'} (t_{0}) ‖ = ‖ f (t_{0}, u (t_{0})) - f (t_{0}, v (t_{0})) ‖ = 0.

Ces deux propriétés de g permettent de définir sur [t₀, t₁] une fonction h par

h (t) = \int_{t_{0}}^{t} \frac{g (s)}{s - t_{0}} d s,

qui majore l'expression intégrale de g(t) d'après l'hypothèse du critère de Nagumo.

On obtient ainsi

h^{'} (t) = \frac{g (t)}{t - t_{0}} \leq \frac{h (t)}{t - t_{0}},

autrement dit l'application t ↦ h(t)/(t – t₀) est décroissante sur ]t₀, t₁]. Comme elle est à valeurs positives et de limite nulle en t₀, elle est constamment nulle, donc g aussi.

Exemple

Soit l'application $f : ℝ \times ℝ \to ℝ$ définie par

f (t, u) = \sqrt{t^{2} + | u |}

et soit le problème de Cauchy

u^{'} = f (t, u), u (0) = 0

L'application $f$ n'est pas lipschitzienne par rapport à u au voisinage de l'origine, en effet, on sait que $f (0, u) = \sqrt{| u |}$ n'est pas lipschitzienne à l'origine.

Cependant, pour tout $t \neq 0$ , on déduit du théorème des accroissements finis qu'il existe c entre $t^{2} + | u |$ et $t^{2} + | v |$ tel que

\sqrt{t^{2} + | u |} - \sqrt{t^{2} + | v |} = \frac{| u | - | v |}{2 \sqrt{c}}

par conséquent, f satisfait le critère de Nagumo dans tout cylindre centré à l'origine puisque

| \sqrt{t^{2} + | u |} - \sqrt{t^{2} + | v |} | \leq \frac{| u - v |}{2 | t |}

pour tout $u, v \in ℝ$ et pour tout $t \neq 0$ . On conclut donc que le problème de Cauchy possède une et une seule solution.

Notes et références

↑ (de) M. Nagumo, « Eine hinreichende Bedingung für die Unität der Lösung von Di erentialgleichungen erster Ordnung », Japanese Journal of Mathematics, vol. 3,‎ 1926, p. 107-112
↑ (en) Ravi P. Agarwal et Donal O'Regan, An Introduction to Ordinary Differential Equations, New-York, Springer, 2008, 321 p. (ISBN 978-0-387-71275-8, lire en ligne), p. 70-71

Denis Bonheure, Équations différentielles ordinaires, notes de cours de l'Université catholique de Louvain
(en) Adrian Constantin (de), « On Nagumo's theorem », Proc. Japan Acad. Ser. A, vol. 86, n^o 2,‎ 2010, p. 41-44 (lire en ligne)

Voir aussi

Le critère d'Osgood dans (en) Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, AMS, 2012 (ISBN 978-0-82188328-0, lire en ligne), p. 58, qui fournit une condition suffisante d'unicité, moins restrictive que celle de Cauchy-Lipschitz.

Portail de l'analyse

[1] (de) M. Nagumo, « Eine hinreichende Bedingung für die Unität der Lösung von Di erentialgleichungen erster Ordnung », Japanese Journal of Mathematics, vol. 3,‎ 1926, p. 107-112

[2] (en) Ravi P. Agarwal et Donal O'Regan, An Introduction to Ordinary Differential Equations, New-York, Springer, 2008, 321 p. (ISBN 978-0-387-71275-8, lire en ligne), p. 70-71

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