Critère de rupture de Tsai-Wu

Le critère de rupture de Tsai-Wu est un critère phénoménologique de défaillance des matériaux composites anisotropes ayant des modules différents en tension et en compression. Il a été énoncé par Stephen Tsai et Edward Wu (de) en 1971. Ce critère de rupture est une spécialisation du critère de rupture quadratique général proposé par Gol'denblat et Kopnov et peut s'exprimer sous la forme :

$F_{i}\sigma _{i}+F_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}\leq 1$

où $\textstyle i,j=1..6$ et les indices répétés indiquent une sommation. $\textstyle F_{i}$ et $\textstyle F_{j}$ sont des paramètres de résistance du matériau déterminés expérimentalement. Les contraintes $\textstyle \sigma _{i}$ sont exprimées en notation de Voigt. Pour que la surface de rupture dans l'espace des contraintes soit fermée et convexe les termes d'interaction $F_{ij}$ doivent satisfaire :

$F_{ii}F_{jj}-F_{ij}^{2}\geq 0$

Ceci implique que tous les termes $\textstyle F_{ii}$ doivent être positifs.

Critère de rupture de Tsai-Wu pour les matériaux orthotropes

Pour les matériaux orthotropes possédant trois plans de symétrie orientés selon les directions des coordonnées, si l'on suppose que $\textstyle F_{ji}=F_{ij}$ et qu'il n'y a pas de couplage entre les termes de contrainte normale et de cisaillement (ni entre les termes de cisaillement), la forme générale du critère de rupture de Tsai-Wu se réduit à :

$\Sigma _{i=1,6}\left(F_{i}\sigma _{i}+F_{ii}\sigma _{i}^{2}\right)+2\left(F_{12}\sigma _{1}\sigma _{2}+F_{13}\sigma _{1}\sigma _{3}+F_{23}\sigma _{2}\sigma _{3}\right)\leq 1$

Soit $\textstyle \sigma _{1t},\sigma _{1c},\sigma _{2t},\sigma _{2c},\sigma _{3t},\sigma _{3c}$ les composantes de la résistance à la rupture en traction et compression uniaxiales dans les trois directions d'anisotropie. Supposons également que les résistances au cisaillement dans les trois plans de symétrie sont $\tau _{23},\tau _{12},\tau _{31}$ (et ont la même valeur dans un plan, au signe près). Les coefficients du critère de rupture orthotrope de Tsai-Wu sont alors :

${\begin{aligned}F_{1}={\cfrac {1}{\sigma _{1t}}}-{\cfrac {1}{\sigma _{1c}}}~;~~F_{2}={\cfrac {1}{\sigma _{2t}}}-{\cfrac {1}{\sigma _{2c}}}~;~~F_{3}={\cfrac {1}{\sigma _{3t}}}-{\cfrac {1}{\sigma _{3c}}}~;~~F_{4}=F_{5}=F_{6}=0\\F_{11}={\cfrac {1}{\sigma _{1c}\sigma _{1t}}}~;~~F_{22}={\cfrac {1}{\sigma _{2c}\sigma _{2t}}}~;~~F_{33}={\cfrac {1}{\sigma _{3c}\sigma _{3t}}}~;~~F_{44}={\cfrac {1}{\tau _{23}^{2}}}~;~~F_{55}={\cfrac {1}{\tau _{31}^{2}}}~;~~F_{66}={\cfrac {1}{\tau _{12}^{2}}}\end{aligned}}$

Les coefficients $F_{12},F_{13},F_{23}$ peuvent être déterminés à l'aide d'essais équibiaxiaux. Si les résistances à la rupture en traction équibiaxiale sont $\sigma _{1}=\sigma _{2}=\sigma _{b12},\;\sigma _{1}=\sigma _{3}=\sigma _{b13},\;\sigma _{2}=\sigma _{3}=\sigma _{b23}$ alors :

${\begin{aligned}F_{12}&={\cfrac {1}{2\sigma _{b12}^{2}}}\left[1-\sigma _{b12}(F_{1}+F_{2})-\sigma _{b12}^{2}(F_{11}+F_{22})\right]\\F_{13}&={\cfrac {1}{2\sigma _{b13}^{2}}}\left[1-\sigma _{b13}(F_{1}+F_{3})-\sigma _{b13}^{2}(F_{11}+F_{33})\right]\\F_{23}&={\cfrac {1}{2\sigma _{b23}^{2}}}\left[1-\sigma _{b23}(F_{2}+F_{3})-\sigma _{b23}^{2}(F_{22}+F_{33})\right]\end{aligned}}$

La quasi-impossibilité de réaliser ces essais équibiaxiaux a entraîné un manque important de données expérimentales sur les paramètres $F_{12},F_{13},F_{23}$. On utilise plutôt l'approximation suivante, initialement proposée par Tsai :

${\begin{aligned}F_{xy}=-{\frac {\sqrt {F_{xx}F_{yy}}}{2}}\end{aligned}}$

Ceci garantit que le terme d'interaction se situe dans les limites pour lesquelles l'enveloppe de seuil est une ellipse.

On peut démontrer que le critère de Tsai-Wu est un cas particulier du critère de seuil de Hill généralisé (en).

Critère de rupture de Tsai-Wu pour les matériaux à isotropie transverse

Pour un matériau à isotropie transverse, si le plan d'isotropie est (1-2), alors :

$F_{1}=F_{2}\,,\quad F_{4}=F_{5}=F_{6}=0\,,\quad F_{11}=F_{22}\,,\quad F_{44}=F_{55}\,,\quad F_{13}=F_{23}$

Le critère de défaillance de Tsai-Wu se réduit à :

$F_{2}(\sigma _{1}+\sigma _{2})+F_{3}\sigma _{3}+F_{22}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})+F_{33}\sigma _{3}^{2}+F_{44}(\sigma _{4}^{2}+\sigma _{5}^{2})+2(F_{11}-F_{12})\sigma _{6}^{2}+2F_{12}\sigma _{1}\sigma _{2}+2F_{23}(\sigma _{1}+\sigma _{2})\sigma _{3}\leq 1$

Cette théorie s'applique à une plaque composite unidirectionnelle dont les fibres sont orientées selon la direction (3).

Afin de garantir des surfaces de rupture fermées et ellipsoïdales pour tous les états de contrainte, Tsai et Wu ont également proposé des conditions de stabilité qui prennent la forme suivante pour les matériaux à isotropie transverse :

$F_{22}F_{33}-F_{23}^{2}\geq 0\,,\quad F_{11}^{2}-F_{12}^{2}\geq 0$

Critère de rupture de Tsai-Wu en contrainte plane

Dans le cas de la contrainte plane avec $\textstyle \sigma _{1}=\sigma _{5}=\sigma _{6}=0$ le critère de rupture de Tsai-Wu se réduit à :

$F_{2}\sigma _{2}+F_{3}\sigma _{3}+F_{22}\sigma _{2}^{2}+F_{33}\sigma _{3}^{2}+F_{44}\sigma _{4}^{2}+2F_{23}\sigma _{2}\sigma _{3}\leq 1$

Les résistances dans les expressions de $\textstyle F_{i}$ et $\textstyle F_{ij}$ peuvent être interprétées, dans le cas d'une plaque, comme :

• $\textstyle \sigma _{1c}$ : résistance à la compression transversale,
• $\sigma _{1t}$ : résistance à la traction transversale,
• $\sigma _{3c}$ : résistance à la compression longitudinale,
• $\sigma _{3t}$ : résistance longitudinale,
• $\tau _{23}$ : résistance au cisaillement longitudinal,
• $\tau _{12}$ : résistance au cisaillement transversal.

Critère de rupture de Tsai-Wu pour les mousses

Le critère de Tsai-Wu pour les mousses de PVC à cellules fermées en conditions de déformation plane peut s'exprimer comme suit :

$F_{2}\sigma _{2}+F_{3}\sigma _{3}+F_{22}\sigma _{2}^{2}+F_{33}\sigma _{3}^{2}+2F_{23}\sigma _{2}\sigma _{3}=1-k^{2}$

avec

$F_{23}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {F_{22}F_{33}}}\,,\quad k={\frac {\sigma _{4}}{\tau _{23}}}$

À titre d'exemple la mousse PVC DIAB Divinycell H250 (densité 250 kg/m³) a les valeurs suivantes : $\textstyle \sigma _{2c}=4,6~MPa,\;\sigma _{2t}=7,3~MPa,\;\sigma _{3c}=6,3~MPa,\;\sigma _{3t}=10~MPa$.

Pour les mousses d'aluminium en contrainte plane, une forme simplifiée du critère de Tsai-Wu peut être utilisée si l'on suppose que les résistances à la rupture en traction et en compression sont identiques et qu'il n'y a pas d'effet de cisaillement sur la résistance à la rupture. Ce critère peut s'écrire :

$3~{\tilde {J}}_{2}+(\eta ^{2}-1)~{\tilde {I}}_{1}^{2}=\eta ^{2}$

où $\textstyle \eta$ est un facteur de forme et

${\tilde {J}}_{2}={\tfrac {1}{3}}\left({\cfrac {\sigma _{1}^{2}}{\sigma _{1c}^{2}}}-{\cfrac {\sigma _{1}\sigma _{2}}{\sigma _{1c}\sigma _{2c}}}+{\cfrac {\sigma _{2}^{2}}{\sigma _{2c}^{2}}}\right)\,,\quad {\tilde {I}}_{1}={\cfrac {\sigma _{1}}{\sigma _{1c}}}+{\cfrac {\sigma _{2}}{\sigma _{2c}}}$

Critère de rupture de Tsai-Wu pour les os

Le critère de rupture de Tsai-Wu a également été appliqué à l'os trabéculaire et à l'os spongieux avec un succès variable. Il a été démontré que la quantité $\textstyle F_{12}$ dépend de manière non linéaire de la densité osseuse.

Voir aussi

• Limite d'élasticité

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Tsai-Wu failure criterion » (voir la liste des auteurs).