Crochet de Rankin-Cohen

opération mathématique

Le crochet de Rankin-Cohen est une opération mathématique qui associe, à de deux formes modulaires, une autre forme modulaire ; cette opération généralise le produit de deux formes modulaires. Robert A. Rankin a donné en 1956 et 1957[1],[2] des conditions générales pour que des polynômes en des dérivées de formes modulaires soient eux-mêmes des formes modulaires, et Henri Cohen (1975)[3] a donné des exemples explicites de tels polynômes qui produisent des crochets de Rankin-Cohen. Ces crochets ont été nommés ainsi par Zagier (1994)[4], qui a introduit les algèbres de Rankin–Cohen comme cadre abstrait pour les crochets de Rankin–Cohen.

Définition

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Soient et des formes modulaires respectivement de poids et ; leur ième crochet de Rankin–Cohen est donné par :

C'est une forme modulaire de poids . Le facteur en tête de l'expression fait que les coefficients de -développements de sont rationnels si ceux de et le sont. Les dérivées et sont des dérivées usuelles, par opposition à la dérivée par rapport au carré du nome qui est parfois aussi utilisée.

Théorie des représentations

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La forme du crochet de Rankin-Cohen peut être expliquée en termes de théorie des représentations. Les formes modulaires peuvent être considérées comme les vecteurs de plus faible poids pour les représentations en série discrète de dans un espace de fonctions sur . Le produit tensoriel de deux représentations de poids les plus faibles correspondant aux formes modulaires et se divise en une somme directe des représentations de poids les plus faibles indexées par des entiers non négatifs , et un calcul montre que les vecteurs de poids les plus faibles correspondants sont les crochets de Rankin-Cohen .

Anneaux de formes modulaires

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Le ième crochet de Rankin-Cohen est le crochet de Lie lorsque l'on considère un anneau de formes modulaires comme une algèbre de Lie.

Notes et références

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Bibliographie

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