Décomposition polaire

La décomposition polaire est un outil mathématique fondamental pour comprendre les propriétés topologiques des groupes linéaires réels et complexes.

Décomposition polaire d'une matrice réelle

• Les applications suivantes sont des homéomorphismes, et même des difféomorphismes.

  $\left\{{\begin{array}{lll}\operatorname {O} _{n}(\mathbb {R} )\times \operatorname {S} _{n}^{++}(\mathbb {R} )&\to &\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {R} )\\(Q,S)&\mapsto &QS\end{array}}\right.\quad \left\{{\begin{array}{lll}\operatorname {O} _{n}(\mathbb {R} )\times \operatorname {S} _{n}^{++}(\mathbb {R} )&\to &\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {R} )\\(Q,S)&\mapsto &SQ.\end{array}}\right.$

  En particulier, toute matrice inversible réelle se décompose de façon unique en produit d'une matrice orthogonale et d'une matrice symétrique définie positive.

• Les applications suivantes sont surjectives mais non injectives :

  $\left\{{\begin{array}{lll}\operatorname {O} _{n}(\mathbb {R} )\times \operatorname {S} _{n}^{+}(\mathbb {R} )&\to &\operatorname {M} _{n}(\mathbb {R} )\\(Q,S)&\mapsto &QS\end{array}}\right.\quad \left\{{\begin{array}{lll}\operatorname {O} _{n}(\mathbb {R} )\times \operatorname {S} _{n}^{+}(\mathbb {R} )&\to &\operatorname {M} _{n}(\mathbb {R} )\\(Q,S)&\mapsto &SQ.\end{array}}\right.$

  En particulier, toute matrice réelle se décompose en produit d'une matrice orthogonale et d'une unique matrice symétrique positive (mais pas nécessairement de façon unique).

Décomposition polaire d'une matrice complexe

• Les applications suivantes sont des homéomorphismes, et même des difféomorphismes.

  $\left\{{\begin{array}{lll}\operatorname {U} _{n}(\mathbb {C} )\times \operatorname {H} _{n}^{++}(\mathbb {C} )&\to &\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )\\(Q,S)&\mapsto &QS\end{array}}\right.\quad \left\{{\begin{array}{lll}\operatorname {U} _{n}(\mathbb {C} )\times \operatorname {H} _{n}^{++}(\mathbb {C} )&\to &\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )\\(Q,S)&\mapsto &SQ\end{array}}\right.$

  En particulier, toute matrice inversible complexe se décompose de façon unique en produit d'une matrice unitaire et d'une matrice hermitienne définie positive.

• Les applications suivantes sont surjectives mais en général non injectives :

  $\left\{{\begin{array}{lll}\operatorname {U} _{n}(\mathbb {C} )\times \operatorname {H} _{n}^{+}(\mathbb {C} )&\to &\operatorname {M} _{n}(\mathbb {C} )\\(Q,S)&\mapsto &QS\end{array}}\right.\quad \left\{{\begin{array}{lll}\operatorname {U} _{n}(\mathbb {C} )\times \operatorname {H} _{n}^{+}(\mathbb {C} )&\to &\operatorname {M} _{n}(\mathbb {C} )\\(Q,S)&\mapsto &SQ.\end{array}}\right.$

  En particulier, toute matrice complexe se décompose en produit d'une matrice unitaire et d'une unique matrice hermitienne positive (mais pas nécessairement de façon unique).

Remarque. Pour n = 1, on retrouve l'écriture $z=r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }$ d'un nombre complexe non nul. C'est la raison du nom de décomposition polaire : c'est une sorte de généralisation des coordonnées polaires.

Application

L'ensemble des matrices symétriques ou hermitiennes définies positives est convexe (2 matrices symétriques positives sont reliées par un segment à valeur dans SO(R)) donc contractile. Il en résulte que $\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ a le même type d'homotopie que $\operatorname {O} _{n}(\mathbb {R} )$ et que $\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ a le même type d'homotopie que $\operatorname {U} _{n}(\mathbb {C} )$.

Notes et références

• Rached Mneimné et Frédéric Testard, Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques [détail des éditions] p. 18-20
• Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles [détail des éditions] p. 48 et 330 de l'éd. 2010 : « Décomposition de Cartan du groupe linéaire »