Dérivée totale

En analyse, la dérivée totale d'une fonction est une généralisation du nombre dérivé pour les fonctions à plusieurs variables. Cette notion est utilisée dans divers domaines de la physique et tout particulièrement en mécanique des milieux continus et en mécanique des fluides dans lesquels les grandeurs dépendent à la fois du temps et de la position.

Définition

Soit $f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ une fonction à plusieurs variables et $x_{1}=x_{1}(t)$ , $x_{2}=x_{2}(t),\ldots ,x_{n}=x_{n}(t)$ , $n$ fonctions de $t$ . Si elle existe, la dérivée totale^[1]^,^[2]^,^[3] par rapport à $t$ de la fonction composée $f(x_{1}(t),x_{2}(t),\ldots ,x_{n}(t))$ s'exprime à partir de l'expression de la différentielle $\mathrm {d} f$ par :

{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}{\frac {\mathrm {d} x_{1}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}{\frac {\mathrm {d} x_{2}}{\mathrm {d} t}}+\ldots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}{\frac {\mathrm {d} x_{n}}{\mathrm {d} t}}

.

Elle est notée ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}$ et ne doit pas être confondue avec la dérivée partielle notée ${\frac {\partial }{\partial t}}$ .

Dérivée particulaire

Dans le cas où la fonction $f:\left(t,x(t),y(t),z(t)\right)\mapsto f\left(t,x(t),y(t),z(t)\right)$ dépend directement du temps en plus de la position, la dérivée totale s'écrit :

{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}

,

{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+\left({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\right)f

,

où $\left({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\right)$ est l'opérateur advection.

En mécanique des fluides, la première partie correspond à la variation locale tandis que la deuxième partie correspond à la variation liée au déplacement de la particule fluide (contribution dite advective ou convective). Parfois notée ${\frac {\mathrm {D} f}{\mathrm {D} t}}$ , la dérivée totale par rapport au temps est également qualifiée de dérivée particulaire^[4], de dérivée convective^[1], de dérivée substantielle, de dérivée matérielle ou de dérivée suivant le mouvement.

Références

↑ ^{a et b} Pascal Febvre, Richard Taillet et Loïc Villain, Dictionnaire de physique, Bruxelles, De Boeck Superieur, 18 février 2013, 899 p. (ISBN 978-2-8041-7554-2, lire en ligne).
↑ Thierry Alhalel, Laurent Chancogne et Florent Arnal, Mathématiques IUT 2e année : L'essentiel du cours, exercices avec corrigés détaillés, Dunod, 8 mai 2013, 240 p. (ISBN 978-2-10-059756-7, lire en ligne).
↑ Heinrich Matzinger, Aide-mémoire d'analyse, PPUR presses polytechniques, 2000, 181 p. (ISBN 978-2-88074-444-1, lire en ligne).
↑ José-Philippe Pérez et Olivier Pujol, Mécanique : fondements et applications - 7e édition : Avec 320 exercices et problèmes résolus, Dunod, 3 septembre 2014, 800 p. (ISBN 978-2-10-072189-4, lire en ligne).

Articles connexes

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[:0-1] {a et b} Pascal Febvre, Richard Taillet et Loïc Villain, Dictionnaire de physique, Bruxelles, De Boeck Superieur, 18 février 2013, 899 p. (ISBN 978-2-8041-7554-2, lire en ligne).

[2] Thierry Alhalel, Laurent Chancogne et Florent Arnal, Mathématiques IUT 2e année : L'essentiel du cours, exercices avec corrigés détaillés, Dunod, 8 mai 2013, 240 p. (ISBN 978-2-10-059756-7, lire en ligne).

[3] Heinrich Matzinger, Aide-mémoire d'analyse, PPUR presses polytechniques, 2000, 181 p. (ISBN 978-2-88074-444-1, lire en ligne).

[4] José-Philippe Pérez et Olivier Pujol, Mécanique : fondements et applications - 7e édition : Avec 320 exercices et problèmes résolus, Dunod, 3 septembre 2014, 800 p. (ISBN 978-2-10-072189-4, lire en ligne).

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