Soient
A
0
,
A
1
,
…
,
A
n
{\textstyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}}
n
+
1
{\displaystyle n+1}
points d'un espace euclidien de dimension
m
{\displaystyle m}
avec
m
⩾
n
{\displaystyle m\geqslant n}
. Ces points sont les sommets d'un simplexe de dimension n (triangle pour
n
=
2
{\displaystyle n=2}
, tétraèdre pour
n
=
3
{\displaystyle n=3}
, pentachore pour
n
=
4
{\displaystyle n=4}
). Notant
d
i
j
{\textstyle d_{ij}}
la distance du sommet
A
i
{\displaystyle A_{i}}
au sommet
A
j
{\textstyle A_{j}}
, le volume
V
n
{\displaystyle V_{n}}
n -dimensionnel de ce simplexe s'exprime par les déterminants suivants [ 1] :
V
n
2
=
1
(
n
!
)
2
2
n
|
2
d
01
2
d
01
2
+
d
02
2
−
d
12
2
⋯
d
01
2
+
d
0
n
2
−
d
1
n
2
d
01
2
+
d
02
2
−
d
12
2
2
d
02
2
⋯
d
02
2
+
d
0
n
2
−
d
2
n
2
⋮
⋮
⋱
⋮
d
01
2
+
d
0
n
2
−
d
1
n
2
d
02
2
+
d
0
n
2
−
d
2
n
2
⋯
2
d
0
n
2
|
=
(
−
1
)
n
+
1
(
n
!
)
2
2
n
|
0
d
01
2
d
02
2
⋯
d
0
n
2
1
d
01
2
0
d
12
2
⋯
d
1
n
2
1
d
02
2
d
12
2
0
⋯
d
2
n
2
1
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
d
0
n
2
d
1
n
2
d
2
n
2
⋯
0
1
1
1
1
⋯
1
0
|
.
{\displaystyle {\begin{aligned}V_{n}^{2}&={\frac {1}{(n!)^{2}2^{n}}}{\begin{vmatrix}2d_{01}^{2}&d_{01}^{2}+d_{02}^{2}-d_{12}^{2}&\cdots &d_{01}^{2}+d_{0n}^{2}-d_{1n}^{2}\\d_{01}^{2}+d_{02}^{2}-d_{12}^{2}&2d_{02}^{2}&\cdots &d_{02}^{2}+d_{0n}^{2}-d_{2n}^{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\d_{01}^{2}+d_{0n}^{2}-d_{1n}^{2}&d_{02}^{2}+d_{0n}^{2}-d_{2n}^{2}&\cdots &2d_{0n}^{2}\end{vmatrix}}\\[10pt]&={\frac {(-1)^{n+1}}{(n!)^{2}2^{n}}}{\begin{vmatrix}0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&\cdots &d_{0n}^{2}&1\\d_{01}^{2}&0&d_{12}^{2}&\cdots &d_{1n}^{2}&1\\d_{02}^{2}&d_{12}^{2}&0&\cdots &d_{2n}^{2}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\d_{0n}^{2}&d_{1n}^{2}&d_{2n}^{2}&\cdots &0&1\\1&1&1&\cdots &1&0\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}
Le déterminant de Cayley-Menger
D
n
{\displaystyle D_{n}}
est celui de la deuxième formule. La matrice dont
D
n
{\displaystyle D_{n}}
est le déterminant est la matrice d'ordre
n
+
1
{\displaystyle n+1}
de terme général
d
i
j
2
,
pour
0
⩽
i
,
j
⩽
n
{\displaystyle d_{ij}^{2},{\text{pour }}0\leqslant i,j\leqslant n}
, bordée par des 1 à droite et en dessous, complétée par un 0. On peut aussi mettre les 1 à gauche et en haut.
Pour
n
=
2
{\displaystyle n=2}
, notant a,b,c les longueurs des côtés du triangle, on a les développements et factorisations :
−
D
2
=
−
|
0
1
1
1
1
0
a
2
b
2
1
a
2
0
c
2
1
b
2
c
2
0
|
=
|
2
a
2
a
2
+
b
2
−
c
2
a
2
+
b
2
−
c
2
2
b
2
|
=
4
a
2
b
2
−
(
a
2
+
b
2
−
c
2
)
2
=
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
2
−
2
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
=
(
a
+
b
+
c
)
(
a
+
b
−
c
)
(
a
−
b
+
c
)
(
−
a
+
b
+
c
)
{\displaystyle {\begin{aligned}-D_{2}=-{\begin{vmatrix}0&1&1&1\\1&0&a^{2}&b^{2}\\1&a^{2}&0&c^{2}\\1&b^{2}&c^{2}&0\end{vmatrix}}&={\begin{vmatrix}2a^{2}&a^{2}+b^{2}-c^{2}\\a^{2}+b^{2}-c^{2}&2b^{2}\end{vmatrix}}\\[8pt]&=4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\\[6pt]&=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\[6pt]&=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)\end{aligned}}}
Le carré de l'aire du triangle est
V
2
2
=
−
D
2
16
{\displaystyle V_{2}^{2}=-{\frac {D_{2}}{16}}}
, et l'on retrouve la formule de Héron .
C'est une expression polynomiale symétrique en les longueurs des côtés. Pour
n
>
2
{\displaystyle n>2}
, elle n'est plus symétrique en les
n
(
n
−
1
)
/
2
{\displaystyle n(n-1)/2}
variables
d
i
j
{\displaystyle d_{ij}}
, mais seulement invariante par les
n
!
{\displaystyle n!}
permutations sur les indices des sommets ; elle n'est plus non plus factorisable [ 2] .
Pour
n
=
3
{\displaystyle n=3}
, renommant
A
1
,
A
2
,
A
3
,
A
4
{\textstyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}}
les sommets du tétraèdre , on a
D
3
=
|
0
1
1
1
1
1
0
d
12
2
d
13
2
d
14
2
1
d
12
2
0
d
23
2
d
24
2
1
d
13
2
d
32
2
0
d
34
2
1
d
14
2
d
24
2
d
34
2
0
|
{\displaystyle D_{3}={\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&d_{14}^{2}\\1&d_{12}^{2}&0&d_{23}^{2}&d_{24}^{2}\\1&d_{13}^{2}&d_{32}^{2}&0&d_{34}^{2}\\1&d_{14}^{2}&d_{24}^{2}&d_{34}^{2}&0\end{vmatrix}}}
et
V
3
2
=
D
3
288
{\displaystyle V_{3}^{2}={\frac {D_{3}}{288}}}
.
Cette dernière formule avait été obtenue (sous une forme développée) par Piero della Francesca ; elle est aussi connue sous le nom de « formule de Tartaglia »[ 3] , [ 4] .
Cette formule est valable pour des points coplanaires, auquel cas
D
3
{\displaystyle D_{3}}
est nul, et fournit donc une relation entre les 6 distances mutuelles de quatre points dans un plan.
Si les vecteurs colonnes
A
0
,
A
1
,
…
,
A
n
{\textstyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}}
sont les coordonnées de
n
+
1
{\displaystyle n+1}
points d'un espace euclidien de dimension
n
{\displaystyle n}
, on a la formule du volume :
V
n
=
1
n
!
|
det
M
|
{\displaystyle V_{n}={\frac {1}{n!}}\left|\det M\right|\,}
où
M
=
(
A
0
A
1
⋯
A
n
1
1
⋯
1
)
{\displaystyle M={\begin{pmatrix}A_{0}&A_{1}&\cdots &A_{n}\\1&1&\cdots &1\end{pmatrix}}}
.
Le déterminant de
M
{\displaystyle M}
reste inchangé par ajout d'une ligne et d'une colonne supplémentaires comme suit :
P
=
(
A
0
A
1
⋯
A
n
0
1
1
⋯
1
0
‖
A
0
‖
2
‖
A
1
‖
2
⋯
‖
A
n
‖
2
1
)
,
{\displaystyle P={\begin{pmatrix}A_{0}&A_{1}&\cdots &A_{n}&0\\1&1&\cdots &1&0\\\|A_{0}\|^{2}&\|A_{1}\|^{2}&\cdots &\|A_{n}\|^{2}&1\end{pmatrix}}\,,}
où
‖
A
j
‖
2
{\displaystyle \|A_{j}\|^{2}}
est le carré de la norme du vecteur
A
j
{\displaystyle A_{j}}
. De plus la matrice d'ordre
n
+
2
{\displaystyle n+2}
Q
=
(
−
2
0
⋯
0
0
0
0
−
2
⋯
0
0
0
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
0
0
⋯
−
2
0
0
0
0
⋯
0
0
1
0
0
⋯
0
1
0
)
{\displaystyle Q={\begin{pmatrix}-2&0&\cdots &0&0&0\\0&-2&\cdots &0&0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &-2&0&0\\0&0&\cdots &0&0&1\\0&0&\cdots &0&1&0\end{pmatrix}}}
a pour déterminant
(
−
2
)
n
(
−
1
)
=
(
−
1
)
n
+
1
2
n
{\displaystyle (-2)^{n}(-1)=(-1)^{n+1}2^{n}}
. Ainsi,
det
(
0
d
01
2
d
02
2
⋯
d
0
n
2
1
d
01
2
0
d
12
2
⋯
d
1
n
2
1
d
02
2
d
12
2
0
⋯
d
2
n
2
1
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
d
0
n
2
d
1
n
2
d
2
n
2
⋯
0
1
1
1
1
⋯
1
0
)
=
det
(
P
T
Q
P
)
=
det
(
Q
)
det
(
P
)
2
=
(
−
1
)
n
+
1
2
n
(
n
!
)
2
V
n
2
{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&\cdots &d_{0n}^{2}&1\\d_{01}^{2}&0&d_{12}^{2}&\cdots &d_{1n}^{2}&1\\d_{02}^{2}&d_{12}^{2}&0&\cdots &d_{2n}^{2}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\d_{0n}^{2}&d_{1n}^{2}&d_{2n}^{2}&\cdots &0&1\\1&1&1&\cdots &1&0\end{pmatrix}}=\det(P^{T}QP)=\det(Q)\det(P)^{2}=(-1)^{n+1}2^{n}(n!)^{2}V_{n}^{2}\,}
[ 3] .
Le premier déterminant est obtenu par combinaisons et développements sur les lignes et colonnes.
Voir une autre démonstration dans [ 5] .
Généralisation aux géométries hyperbolique et sphérique
modifier
Le déterminant pour
n
=
3
{\displaystyle n=3}
peut être utilisé pour démontrer le théorème de Descartes , ainsi que le théorème de Stewart .
Rayon de la sphère circonscrite d'un simplexe
modifier
Un n -simplexe non dégénéré, possède une n -sphère circonscrite, de rayon
R
{\displaystyle R}
. Le n + 1-simplexe composé des sommets du n -simplexe et du centre de la n -sphère est alors dégénéré. Ainsi, nous avons la nullité du déterminant d'ordre n + 3:
|
0
R
2
R
2
R
2
⋯
R
2
1
R
2
0
d
01
2
d
02
2
⋯
d
0
n
2
1
R
2
d
01
2
0
d
12
2
⋯
d
1
n
2
1
R
2
d
02
2
d
12
2
0
⋯
d
2
n
2
1
⋮
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
R
2
d
0
n
2
d
1
n
2
d
2
n
2
⋯
0
1
1
1
1
1
⋯
1
0
|
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}0&R^{2}&R^{2}&R^{2}&\cdots &R^{2}&1\\R^{2}&0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&\cdots &d_{0n}^{2}&1\\R^{2}&d_{01}^{2}&0&d_{12}^{2}&\cdots &d_{1n}^{2}&1\\R^{2}&d_{02}^{2}&d_{12}^{2}&0&\cdots &d_{2n}^{2}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\R^{2}&d_{0n}^{2}&d_{1n}^{2}&d_{2n}^{2}&\cdots &0&1\\1&1&1&1&\cdots &1&0\end{vmatrix}}=0}
En particulier, lorsque
n
=
2
{\displaystyle n=2}
, cela permet d'obtenir le rayon du cercle circonscrit à un triangle en fonction des longueurs de ses côtés.
↑ D. M. Y. Sommerville , An Introduction to the Geometry of n Dimensions , New York, Dover Publications, 1958
↑ (en) CARLOS D’ANDREA, MARTIN SOMBRA, « THE CAYLEY-MENGER DETERMINANT IS IRREDUCIBLE
FOR n ≥ 3 », ? , ? (lire en ligne )
↑ a et b (en) "Simplex Volumes and the Cayley-Menger Determinant" , MathPages.com
↑ « Déterminants de Cayley-Menger »
↑ Marcel Berger, Géométrie , t. 1, Cassini, 2016 , p. 279-280
↑ (en) Blumenthal et Gillam, « Distribution of Points in n -Space », The American Mathematical Monthly , vol. 50, no 3, 1943 , p. 181 (DOI 10.2307/2302400 , JSTOR 2302400 )
↑ Audet, « Déterminants sphérique et hyperbolique de Cayley–Menger », Bulletin AMQ , Association mathématique du Québec , vol. LI, 2 mai 2011 , p. 45–52 (lire en ligne )
↑ (en) Tao, « The spherical Cayley–Menger determinant and the radius of the Earth », What's new , 25 mai 2019 (consulté le 10 juin 2019 )