Degré (mathématiques)

De manière générale, un degré indique une quantité définie qui s'ajoute ou qui caractérise de façon discontinue un phénomène :

• on parle des degrés d'une échelle pour désigner les barreaux ou les marches (on monte d'une quantité donnée à chaque pas) ;
• on parle du degré d'un séisme pour désigner son intensité.

En relation avec ce concept décrivant le monde physique, les mathématiciens ont baptisé degré certaines caractéristiques d'objets issus de domaines très divers : algèbre, topologie, théorie des graphes, statistique…

Degré en algèbre

Degré d'un polynôme

À une indéterminée

Soit $A$ un anneau. L'anneau des polynômes à une indéterminée sur $A$ est $A[X]$, soit $P$ un polynôme à coefficients dans $A$.

Le degré de $P$, noté $\deg(P)$ ou $d^{\circ }(P)$ est défini par :

• Si $P=0$, $\deg(P)=-\infty$
• Sinon, pour $P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+...+a_{1}X+a_{0}$, on définit : $\deg(P)=\sup\{n\in \mathbb {N} ,a_{n}\neq 0\}$

Par exemple, $\deg(3X^{5}-2X^{4}+8X-2)=5$

En plusieurs indéterminées

Soient $A$ un anneau et $n\in \mathbb {N}$. L'anneau des polynômes à $n$ indéterminées sur $A$ est $A[X_{1},X_{2},...,X_{n}]$

Le degré du polynôme nul est toujours $-\infty$.

Sinon on considère l'ensemble des « sommes des exposants des indéterminées » dans chaque terme. Le degré du polynôme est alors le plus grand élément de cet ensemble.

Par exemple : dans $A[X,Y],\deg(X^{2}Y^{2}+3X^{3}+4Y)=4$

Degré d'une fraction rationnelle

Soit $A$ un anneau commutatif, unitaire, intègre. Le corps des fractions rationnelles à une indéterminée sur $A$ est $A(X)$. Soit $F\in A(X)$. Il existe $N\in A[X]$ et $D\in A[X]\setminus \{0\}$ tel que $F={\tfrac {N}{D}}$.

La grandeur $\deg(N)-\deg(D)\in \mathbb {Z} \cup \{-\infty \}$ est indépendante du représentant ${\tfrac {N}{D}}$ choisi pour $F$.

On définit alors $\deg(F)=\deg(N)-\deg(D)$, noté $\deg(F)$ ou $d^{\circ }(F)$.

Propriétés du degré

• $\forall (P,Q)\in (A(X))^{2},\deg(P+Q)\leq \sup\{\deg(P),\deg(Q)\}$
• Si $A$ est intègre, $\forall (P,Q)\in (A(X))^{2},\deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)$

Degré en théorie des graphes

En théorie des graphes, le degré d'un sommet est le nombre d'arêtes issues de ce sommet.

On parle aussi du degré minimal d'un graphe et de son degré maximal. Quand le graphe est régulier, on peut parler du degré du graphe.

Degré en topologie

Le degré d'une application continue entre variétés de même dimension est une généralisation de la notion d'enroulement d'un cercle sur lui-même. C'est un invariant homologique à valeurs entières positives.

Voir aussi

• Degré de liberté 
• Valuation