Deltoïde (courbe)

En géométrie, la deltoïde est une courbe plane, plus précisément une hypocycloïde à trois rebroussements. Son nom vient de sa forme de triangle circulaire, qui rappelle celle de la lettre grecque delta majuscule (Δ). Cet exemple de roulette fut étudié pour la première fois par Leonhard Euler en 1745.

La courbe en rouge est une deltoïde.

Équations paramétriques

En écrivant la position du point d'un cercle de rayon $a$ roulant sans glisser à l'intérieur d'un cercle de rayon $3a$, on obtient l'équation paramétrique suivante :

$x=2a\cos(t)+a\cos(2t)$

$y=2a\sin(t)-a\sin(2t)$.

La deltoïde comme enveloppe d'un segment dont les extrémités sont astreintes à suivre la courbe

L'équation cartésienne est de la forme :

$(x^{2}+y^{2})^{2}+18(x^{2}+y^{2})=8x^{3}-24y^{2}x+27$,

ce qui montre que cette courbe est algébrique de degré 4. Elle possède trois points singuliers (les trois points de rebroussement), et elle est de genre zéro.

Propriétés géométriques

Caustique de deltoïde. La source lumineuse étant à l'infini, cette caustique est une astroïde, quelle que soit la direction de la source.

• La longueur du périmètre d'un deltoïde de paramètre a est 16a. L'aire du domaine délimité par le deltoïde est $2\pi a^{2}$.
• Pour toute droite tangente à une deltoïde de paramètre a, le segment de droite formé par l'intersection de la tangente avec la courbe est de longueur constante égale à 4a, et son milieu est sur son cercle inscrit.
• L'enveloppe des droites de Simson d'un triangle est une deltoïde (on l’appelle deltoïde de Steiner, ce théorème étant dû à Jakob Steiner).
• La développante de la deltoïde a pour équation cartésienne

$x^{3}-x^{2}-(3x+1)y^{2}=0,$ Elle présente un point double à l'origine, ce que l'on peut vérifier en opérant une rotation imaginaire y → iy, qui aboutit à l'équation :

$x^{3}-x^{2}+(3x+1)y^{2}=0$ courbe qui présente un point double à l'origine dans $\mathbb {R} ^{2}$.

• La caustique d'un deltoïde, la source lumineuse étant à l'infini, est une astroïde, quelle que soit la direction de la source.

Bibliographie

• Jacques Hadamard, « On the three-cusped hypocycloid », The Mathematical Gazette, vol. 29,‎ 1945, p. 66-67
• (en) E.H. Lockwood, A Book of Curves, Cambridge, England, Cambridge University Press, 1967, chap. 8 (« The Deltoid »), p. 72-79.

Voir aussi

• Astroïde
• Triangle de Reuleaux
• Superellipse

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Deltoid », sur MathWorld