Étant donnés
points
![{\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{n},y_{n}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a391b83fedd496c1690c6aaca56da0ea7668ef2)
d'abscisses distinctes, les différences divisées sont définies de la manière suivante :
![{\displaystyle [y_{\nu }]=y_{\nu }\qquad (\nu =0,\ldots ,n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebf0e53e70626ac3be6b262d58968a6f434514ad)
![{\displaystyle [y_{\nu },\ldots ,y_{\nu +j}]={\frac {[y_{\nu +1},\ldots y_{\nu +j}]-[y_{\nu },\ldots y_{\nu +j-1}]}{x_{\nu +j}-x_{\nu }}}\qquad (j=1,\ldots ,n,\qquad \nu =0,\ldots ,n-j).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4e2f628167b5bd3e106aa3e616d47e91fd05744)
Pour toute fonction
telle que
, on note parfois
la différence divisée
.
D'après le théorème d'interpolation de Newton, la différence divisée associée à
points est égale au coefficient de degré
du polynôme d'interpolation de Lagrange de ces points. Autrement dit :
.
Cette égalité a des conséquences remarquables :
- invariance par permutation des indices :
;
- linéarité :
;
- règle de Leibniz :
;
- théorème de la moyenne : pour n ≥ 1 et
, si
est de classe Cn–1 sur
et possède une dérivée n-ième sur
, il existe
tel que
.
Les premières itérations donnent :
- Ordre 0 :
![{\displaystyle [y_{0}]=y_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be6b71d95d874915cb8659f9bd97988482733218)
- Ordre 1 :
![{\displaystyle [y_{0},y_{1}]={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5cebb2b013c27e5c8c3943356fe2faee854b01e)
- Ordre 2 :
![{\displaystyle [y_{0},y_{1},y_{2}]={\frac {{\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}-{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}{x_{2}-x_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17976ad41f73c89d4a4bd40611dba48569a10baa)
Pour expliciter le processus récursif, les différences divisées peuvent être calculées en les disposant de la manière suivante dans un tableau :
![{\displaystyle {\begin{matrix}x_{0}&y_{0}=[y_{0}]&&&\\&&[y_{0},y_{1}]&&\\x_{1}&y_{1}=[y_{1}]&&[y_{0},y_{1},y_{2}]&\\&&[y_{1},y_{2}]&&[y_{0},y_{1},y_{2},y_{3}]\\x_{2}&y_{2}=[y_{2}]&&[y_{1},y_{2},y_{3}]&\\&&[y_{2},y_{3}]&&\\x_{3}&y_{3}=[y_{3}]&&&\\\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d60ef92b00038923edcedaecccbadd25373b07c1)
Dans le cas où les abscisses sont en progression arithmétique, les différences divisées sont reliées aux différences finies, définies par
,
par la relation (immédiate par récurrence) :
.