Difféomorphisme hamiltonien

En géométrie différentielle, les difféomorphismes hamiltoniens sont les difféomorphismes des variétés symplectiques obtenus dans les flots hamiltoniens.

Definition

Pour une variété symplectique $(M,\omega )$ est un symplectomorphisme $f\colon M\rightarrow M$, pour lequel une isotopie de Hamilton vers l'identité (symplectique) $\operatorname {id} _{M}\colon M\rightarrow M$existe, un « symplectomorphisme hamiltonien » .

• Une Homotopie $H\colon M\times [0,1]\rightarrow M$ avec $H(-,0)=\operatorname {id} _{M}$ et $H(-,1)=f$, pour laquelle $H(-,t)$ pour tous $t\in [0,1]$ symplectique est une « isotopie symplectique ».
• Une isotopie symplectique $H\colon M\times [0,1]\rightarrow M$, pour lesquels les champs vectoriels générateurs $X_{t}$ avec $H(-,t)'=X_{t}\circ H(-,t)$ pour tous $t\in [0,1]$ sont respectivement des champs vectoriels hamiltoniens, est une « isotopie hamiltonienne ».

Un symplectomorphisme hamiltonien $f\colon M\rightarrow M$, son graphique $\operatorname {graph} (f)$ la diagonale $\Delta _{M}=\{(x,x)|x\in M\}\subset M\times M$ traverse transversalement, de sorte que pour chacun de leurs points d'intersection $x\in M$, donc points fixes de$f$ avec $f(x)=x$, est considérée comme $T_{(x,x)}\operatorname {graph} (f)+T_{(x,x)}\Delta _{M}=T_{(x,x)}(M\times M)$,est appelé « non dégénéré », sinon « dégénéré ».

Caractéristiques

• L'identité sur une variété symplectique est un symplectomorphisme hamiltonien.
• La composition des symplectomorphismes hamiltoniens est un symplectomorphisme hamiltonien.
• La Bijection réciproque d’un symplectomorphisme hamiltonien est un symplectomorphisme hamiltonien.

Voir aussi

Symplectomorphisme

Bibliographie

• (en) Dusa McDuff et Dietmar Salamon, Introduction to Symplectic Topology, Clarendon Press (Oxford mathematical monographs, Oxford science publications), 1998 (ISBN 0-19-851177-9)
• (en) Jean-Luc Brylinski, Loop Spaces, Characteristic Classes and Geometric Quantization, Birkhäuser Boston (Modern Birkhäuser Classics), 2007 (ISBN 978-0-8176-4730-8)

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hamiltonscher Symplektomorphismus » (voir la liste des auteurs).