Soit une boule, de rayon R, de polarisation uniforme, donc de moment dipolaire
.
Le champ électrique créé par cette boule est le même que celui d'une sphère chargée en surface par une densité surfacique de révolution
.
Comme la distribution est à support compact, le champ au loin (r>>R) comme celui créé par le dipôle p.[Quoi ?]
Il est extraordinaire de constater que cela est vrai pour tout r > R !
![{\displaystyle {\vec {E}}(M)={\frac {p}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}\cdot {\bigl (}2\cos \theta {\vec {u_{r}}}+\sin \theta {\vec {u_{\theta }}}{\bigr )}={\frac {P}{3\epsilon _{0}}}{\frac {R^{3}}{r^{3}}}\cdot {\bigl (}2\cos \theta {\vec {u_{r}}}+\sin \theta {\vec {u_{\theta }}}{\bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86042efee609575de6a1b9f94f22f678e037054d)
ou encore :
![{\displaystyle {\vec {E}}(M)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}\cdot r^{3}}}\cdot {\bigl (}3{\vec {u_{r}}}({\vec {p}}\cdot {\vec {u_{r}}})-{\vec {p}}{\bigr )}={\frac {R^{3}}{\epsilon _{0}\cdot r^{3}}}\cdot {\bigl (}{\vec {u_{r}}}({\vec {P}}\cdot {\vec {u_{r}}})-{\frac {1}{3}}{\vec {P}}{\bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6b039baa35c986a3251a7ed9352f7edbdb39c58)
Pour r < R, le champ est uniforme :
![{\displaystyle {\vec {E_{0}}}=-{\vec {P}}/3\epsilon _{o}={\frac {P}{3\epsilon _{0}}}\cdot {\bigl (}-cos\theta {\vec {u_{r}}}+\sin \theta {\vec {u_{\theta }}}{\bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee8042ea395ebf6183224014fb35b92588f40e36)
Le diagramme électrique est donc évident à tracer.
On obtient donc les potentiels suivants :
(r>R) :
(r<R) :
On peut faire le calcul ; mais la démonstration la plus rapide est "bluffante" : la solution existe et est unique ; il suffit donc de vérifier que div E = 0 et rot E = 0, et que les conditions limite à l'infini sont réalisées (c'est exact) et sur la sphère aussi :
(c'est exact aussi).