Discussion:Cône tangent

Améliorations possibles

• figures de quelques cônes tangents (au sens de Bouligand) (besoin d'outils graphiques permettant de faire de la coloration avec transparence),
• introduction d'autres notions de cône tangent, notamment celles qui sont utiles en dimension infinie,
• des exemples de cônes tangent et normal.

Jean-Charles.Gilbert (d) 30 novembre 2010 à 08:57

Propriété fausse

La propriété (datant de novembre 2010) selon laquelle (en dimension finie) pour $C$ convexe, $\forall x\in {\overline {C}}\quad \operatorname {R} _{C}(x)=\mathbb {R} _{+}^{*}(C-x)$, est fausse. Exemple : dans le plan, soit $C$ le demi-plan supérieur ouvert union la demi-droite $[1,+\infty [\times \{0\}$. Alors $R_{C}(0)$ est le demi-plan supérieur ouvert, qui ne contient pas $C$.

Même pour ce que, en rectifiant, j'avais commencé par laisser (« Dans un espace vectoriel de dimension finie, soit $x$ un point de l'adhérence d'un convexe $C$. Alors [$\operatorname {R} _{C}(x)\subset \mathbb {R} _{+}^{*}(C-x)$, avec égalité si $C$ est fermé et] $\operatorname {T} _{C}(x)={\overline {\operatorname {R} _{C}(x)}}$ », il faudrait une source fiable or je n'en trouve que pour C fermé. Je dépose ça ici mais en attendant mieux, je préfère limiter les affirmations à l'essentiel : $\operatorname {T} _{C}(x)={\overline {\mathbb {R} _{+}(C-x)}}$, qui du coup est vrai même en dimension infinie.

Anne 31/1/17