Discussion:Fonction itérée

Chapeau

Voici  itérée  la  similitude  directe  F   de  centre  S :   le  centre
invariant   des   pentagones   réguliers.    Les  côtés  de  chaque
pentagone  passent  par  les  cinq  sommets  de  celui  dont  il  est
l’image  par  F,   sauf  les  côtés  du  polygone  initial,   le  plus  petit.
Par   exemple,    M  =  F ( F (K )) =  F ○ F ( K ) = F ² ( K ).
Composer  F   à  l’infini  avec  elle‑même  produit  une
spirale  infinie  depuis  K,   par  exemple,   ou  à  partir
de  n’importe  quel  point  du  plan,   sauf  S.

Je propose d’insérer cette image SVG avant le texte du chapeau de l’article.
  Arthur Baelde (discussion) 15 février 2024 à 15:17 (CET)

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Retouche  de  la  légende  de  l’illustration  proposée.
  Arthur Baelde (discussion) 17 février 2024 à 14:27 (CET)

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Aujourd’hui un lien vers Composition de fonctions dans la légende,  encore modifiée.
  Arthur Baelde (discussion) 20 février 2024 à 14:13 (CET)

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Organigramme  de  calcul  de  “ n  modulo  d ”,   qui  est
le  reste  de  la  division  euclidienne  de  n  par  d.
Par  exemple  si   n = 95   et   d = 20,   la  fonction
f  itérée  est  définie  par     f  ( x )  =  x – 20,    sur
l’ensemble  ℕ  des  entiers  naturels.   L’algorithme
conclut    95 modulo 20  =  95 – 4 × 20  =  15,   après
quatre  parcours  de  la  boucle,   où  la  variable  r
prend  les  valeurs     95 ↦ 75 ↦ 55 ↦ 35 ↦ 15.

Chaque  pentagone  a  tous  ses  sommets  sur  les  côtés
de   son  agrandissement   par   la   similitude   directe  F.
Le  centre  de  F,   son  point  invariant,   est  le  centre  S
des  pentagones  réguliers.   Par  la  composition  de  F   à  l’infini
avec  elle‑même,   les  images  d’un  point  distinct  de  S  sont  les
sommets  d’une  spirale  infinie.     Une  spirale  qui  part  de  K
passe  par    L,   puis   M  =  F ( F (K )) =  F ○ F (K ) = F ² (K ),
N  =  F ³ (K ),   etc.

Exemples  de  fonctions  itérées  en  arithmétique  et  en  géométrie  plane

Plus  simple  qu’une  itération  de  similitude,   la  soustraction
d’une  constante,   répétée  plusieurs  fois,   plus  l’exemple  numérique
exposé  en  légende,   parleraient  d’emblée  à  un  vaste  public
La  nouvelle  illustration  proposée  est  une  double  image,
où  l’organigramme  précèderait  l’ancienne  illustration.
  Arthur Baelde (discussion) 20 juillet 2024 à 17:32 (CEST)

Bonjour, l'exemple arithmétique est plus simple, mais il est présenté ici sous une forme algorithmique récursive et non fonctionnelle. Il n'y a pas de fonction f comme dans le texte (ou dans l'autre exemple). Donc cela risque d'induire en erreur. Mon problème avec le dessin de droite, qui illustre beaucoup mieux le principe de l'itération, est que le schéma est compliqué pour cette notion simple (il y a trop d'information dessus amha). Par ailleurs, il me semble qu'au moins au début, il faudrait présenter la notion avec un nombre fini d'itérations, avant de passer à la question plus délicate d'une composition infinie. Par exemple, avoir une version de votre illustration avec seulement F et FoF, peut-être FoFoF, en donnant juste l'effet de la similitude sur le pentagone de départ. Et éventuellement, reprendre la figure complète plus loin dans le texte, quand on aborde les questions d'itération à l'infini, de systèmes dynamiques, etc. Cordialement Cgolds (discuter) 20 juillet 2024 à 19:52 (CEST)

Bonjour   Madame.
Belle  invention  qu’un  organigramme  pour  représenter  une  boucle.
J’ai  ajouté   f (x) = x – 20   dans  la  légende  améliorée.  La  figure  géométrique  serait
moins  claire  en  itérant  une  rotation,   au  lieu  de  cette  similitude  qui  possède  un  centre.
F ⁴ (K )   est  inscrit  dans  l’image.   Et  l’infini  s’imagine,   bien  sûr.
  Arthur Baelde (discussion) 23 juillet 2024 à 15:40 (CEST)

Aujourd’hui,   j’introduis  la  notation  ℕ  dans  la  légende  de  l’organigramme.
Là  les  cinq  valeurs  successives  de   r   sont  séparées  par  des  caractères  ↦,
quatre  flèches  qui  répondent  aux  flèches  vertes  du  dessin  aux  spirales.
  Arthur Baelde (discussion) 26 juillet 2024 à 15:21 (CEST)