Discussion:Lemme de Goursat (analyse complexe)

Dernier commentaire : il y a 26 jours par Peenyer dans le sujet Suggestion concernant la démonstration par les triangles
Autres discussions [liste]
  • Admissibilité
  • Neutralité
  • Droit d'auteur
  • Article de qualité
  • Bon article
  • Lumière sur
  • À faire
  • Archives
  • Commons

Petites erreurs modifier

1) Une erreur dans la décomposition de l'intégrale en 4 (inversion de + et =). Remarque : on aurait pu écrire la 1ere intégrale comme les 3 autres ! déjà parce que ça prend moins de place.

2) Une erreur dans la fameuse 3eme intégrale car c'est à la place de

3) Une erreur dans l'application de Cauchy-Riemann : faux de dériver à l'intérieur de f puisque Cauchy-Riemann s'applique de suite !
On a donc
En fait il faut éliminer l'introduction de la fonction .

--Fabrej0 (d) 13 mars 2012 à 23:07 (CET)Répondre

Fait (sauf les + et = dans ta remarque 1 : j'ai laissé tel quel, c'est correct et adapté aux intentions).
Dans "Extension à tout polygone", par cohérence avec Théorème intégral de Cauchy relooké hier, j'ai enlevé "Remarque :" du titre, et le commentaire final selon lequel ce serait "sans grand intérêt" : ça permet au contraire de définir une primitive directement globalement, au lieu de passer par des disques comme dans l'actuelle boîte déroulante de Fonction holomorphe#Primitive d'une fonction holomorphe, que j'ai bien envie de supprimer (en dépit de ma sympathie pour l'image malgré sa légende bizarre "ouvert connexe simple" au lieu de "simplement connexe").
Toujours dans "Extension à tout polygone", les explications sont dangereusement simplistes (voir triangulation d'un polygone). Si le polygone n'est pas convexe, en procédant n'importe comment, les arêtes des triangles qu'on crée risquent de sortir de l'ouvert. Je crois (c'est aussi une impression générale sur cette série d'articles) qu'il vaudrait mieux moins de détails inventés et parfois faux : plutôt des indications et une source (ça n'est pas ça qui manque).
Anne (d) 30 mars 2012 à 20:00 (CEST)Répondre

Hypothèses trop faibles pour la démonstration proposée avec les rectangles modifier

La démonstration du lemme de Goursat avec les rectangles présente des omissions. En effet, cette démonstration est valable si on suppose la fonction , mais ne convient pas pour sans cette hypothèse. En effet, l'argument utilisé est le théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre. Or sans hypothèse de domination, c'est faux, et le fait évoqué selon lequel on est sur un segment est insuffisant. Voici un contre exemple : la fonction (avec prolongement par continuité en 0) est dérivable , mais sa dérivée n'est pas intégrable (ni au sens de Riemann, ni au sens de Lebesgue). Pour aller plus loin, la fonction montre aussi que ce n'est pas parce qu'on est sur un segment que cela fonctionne bien : la fonction dominante dans ce cas n'est pas bornée !

Même avec une hypothèse de "presque partout" on a un problème par la suite : ce n'est pas parce qu'une fonction est "presque partout" que l'on a  : cf. "l'escalier du diable" de Cantor.

Bien évidemment dans le cas d'une fonction holomorphe, la continuité de la dérivée est toujours vraie, mais on ne le sait qu'a posteriori grâce justement au Théorème intégral de Cauchy, lui même conséquence du lemme de Goursat : ça se "mort la queue".

Enfin, si on ajoute l'hypothèse de continuité de la dérivée, la formule de Green-Riemann nous donne directement le résultat. D'ailleurs, la démonstration de Green-Riemann se fait de la même façon.

La démonstration avec les rectangles doit se faire comme celle des triangles (c'est d'ailleurs la démonstration proposée par Goursat) : c'est la même chose ! La forme du contour (polygonal de préférence) n'a pas beaucoup d'importance. Autant donc se contenter de la version "triangles". --Olimess (discuter) 7 décembre 2016 à 10:41 (CET)Répondre

Ces remarques me paraissent toujours d'actualité. Theon (discuter) 17 mars 2021 à 14:45 (CET)Répondre

Suggestion concernant la démonstration par les triangles modifier

Bonjour.

Bien que la démonstration par les triangles soit claire, je ne pense pas que ce soit une démonstration par l'absurde comme annoncé. Si on suit le raisonnement, il y est directement démontré l'encadrement : . Personnellement, j'ai été troublé parce que je me suis demandé où l'inégalité stricte intervenait pour fausser une ou plusieurs étapes dans le raisonnement. De fait, l'hypothèse d'inégalité stricte n'est utilisée nulle part si ce n'est à la fin pour en quelque sorte dire "j'ai annoncé quelque chose mais j'ai démontré le contraire".

Je suggère donc de supprimer la notion de "raisonnement par l'absurde" pour gagner encore en clarté.

Merci d'avoir écrit cet article. Peenyer (discuter) 2 mai 2024 à 17:24 (CEST)Répondre

Revenir à la page « Lemme de Goursat (analyse complexe) ».