Discussion:N-sphère

Suggestion de modification de la légende de l'illustration

La légende de l'illustration est : "Hypersphère dans l'espace euclidien de dimension 3, c'est la sphère au sens usuel." C'est vrai, mais la page wikipedia sur la sphère (https://fr.wikipedia.org/wiki/Sphere), il est indiqué : "une 2-sphère est une sphère ordinaire". Ces deux indications sont vraies. Mais le lecteur néophyte peut confondre la dimension de l'espace euclidien et celle de la sphère. Donc je propose de modifier la légende de l'illustration en "Hypersphère de dimension 2 (appelée aussi 2-sphère) dans l'espace euclidien de dimension 3, c'est la sphère au sens usuel." — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 2a01:e35:8bbe:dd00:f9c0:f5b4:14a4:de4b (discuter), le 17 mai 2019 à 00:26‎.

Je suis d'accord. — Ariel (discuter) 17 mai 2019 à 08:10 (CEST)

P.S. Et Dfeldmann probablement aussi, vu qu'il a procédé à la modif...

Non-sens dans la comparaison des "volumes".

L'article compare les volumes des hypersphères dans différentes dimensions. Il donne le maximum pour 5 dimensions.

Ce paragraphe est un non-sens mathématique. Il dit par exemple que le volume d'une sphère de rayon 1 est supérieur à la surface d'un disque de rayon 1. Cela ne veut rien dire. On ne compare pas des volumes et des surfaces. En tant que mathématicien, cette comparaison me choque.

Si on compare numériquement les volumes des hypersphères de diamètre 1, alors on obtient un tableau qui commence à 1.0 et qui décroit régulièrement. Cette valeur a une interprétation concrète, elle indique la densité de remplissage d'un empilement orthogonal d'hypersphères. Le maximum n'est pas dans 5 dimensions mais dans 1 dimension.

En bref, le paragraphe indiquant que le volume est maximum en 5 dimension est un non-sens mathématique qui n'a pas sa place dans une page telle que celle-ci.

Même remarque pour le paragraphe qui indique une "aire" maximale en n=7 dimensions. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 178.238.166.202 (discuter), le 25 janvier 2021 à 13:44 (CET)

Florian Fischer. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 178.238.166.202 (discuter), le 25 janvier 2021 à 13:34 (CET)

Cher mathématicien choqué : on ne devrait pas, peut-être, mais le volume (la mesure de Lebesgue canonique, pour laquelle celle de l'hypercube unité vaut 1) de la n-sphère de rayon est effectivement $C_{n}R^{n}$ (et son "aire" est $nC_{n}R^{n-1}$), avec $C_{n}={\pi ^{n/2} \over \Gamma (n/2+1)}$ ; comparer entre eux les nombres sans unité $C_{n}$ (ou $nC_{n}$) peut sembler un exercice de numérologie futile, mais a tout de même un certain sens, et est peut-être même plus sérieux que la classique comparaison de $e^{\pi }$ et de $\pi ^{e}$. Vous avez par ailleurs raison de rappeler que la n-sphère unité a un hypercube circonscrit de côté 2 (et de volume $2^{n}$), et donc que cette sphère occupe une fraction de plus en plus petite de cet espace (votre remarque sur les n-sphères de diamètre 1) ; mais bien sûr, cela vient en grande partie de ce que la longueur de la diagonale de l'hypercube unité tend vers l'infini avec n. Cordialement, --Dfeldmann (discuter) 25 janvier 2021 à 14:04 (CET)

Il y a d'autres choses amusantes avec les hypersphères quand on fait croître n. Notamment, le volume devient de plus en plus concentré en surface. Je vous laisse le plaisir de traduire ça en termes mathématiques (indice : regarder quel est le rayon interne de la coque (hyper)sphérique englobant par exemple 99 % du volume). — Ariel (discuter) 25 janvier 2021 à 16:38 (CET)

P.S. Mine de rien, ça a des applications, notamment pour l'(hyper)ellipsoïde des incertitudes quand il y a un très grand nombre de sources d'erreur indépendantes.

Il est également classique, en 3D, de comparer le rapport surface/volume dédimensionnalisé (par exemple ${\sqrt {S}}/{\sqrt[{3}]{V}}$) de différentes formes d'objets, par exemple en relation avec les énergies interfaciales (dont la tension superficielle). — Ariel (discuter) 25 janvier 2021 à 16:45 (CET)