Discussion:Nombre réel

Unicode et informatique

+ Suggestion purement formelle, pourquoi pas remplacer l'image de R par l'unicode fait exprès pour ℝ (ℝ)?

+ Dans la section vie courante, il est écrit que l'informatique utilise les nombres réels. Ça ne correspond pas à la réalité. L'informatique ne connait que des ensembles finis de nombres entiers. Dans la codification en virgule flottante, trois ensembles finis de nombres entiers (représentant le signe, la mantisse, la puissance) sont combinés pour figurer des valeurs très dispersées, avec une précision limitée. On choisit cette précision par rapport aux objectifs de calcul, qui correspondent à la précision limitée de toute mesure physique. Dans le monde réel, différent du monde des nombres réels, tout finit par du bruit et de l'artefact de mesure, ou bien l'acte de mesurer transforme l'objet de la mesure. Dans la vie courante, le prix de la précision dépasse vite le profit qu'elle permet (on procède avec une faible précision instantanée et divers équivalents de boucles de rétroaction corrective). Certes, il existe dans l'informatique, des programmes et systèmes de programmation qui traitent les nombres réels en utilisant des symboles (Mathematica). Mais ceux-ci ne peuvent guère appuyer la thèse bizarre que les nombres réels sont un concept de la vie courante (rendez-moi la monnaie sur Pi dollars). Ces programmes ne servent qu'à traiter de problèmes de mathématiques, alors que la plupart des autres font des calculs, des évaluations. Ce sont des remarques de philosophe plus que de mathématiciens, mais enfin, cette partie est très contestable.

+ Je demanderai au personnes les plus impliquées de bien vouloir considérer la possibilité de mieux coordonner la page Nombres Réels à la page Nombres à laquelle elle devrait être liée.

PolBr (d) 14 octobre 2011 à 09:13 (CEST)

Biunivoque

biunivoque, c'est pas un très vieux mot plus franchement utilisé, ça?! Ca doit vouloir dire bijection, si je me souviens bien ce que j'ai lu tracé sur le mur de la caverne en question ;-) Snark 13:31 mar 8, 2003 (CET)

Nombre réel et Construction des nombres réels

Le premier n'adresse que quelques mots abstrus à un mathématicien déjà chevronné et laisse toute sa substance au second dont l'approche n'est d'ailleurs pas plus didactique. Roby 18 septembre 2005 à 07:24 (CEST)

J'ai rajouté les bandeaux de fusion. Je ne pense pas que la fusion soit pertinente, car on peut dire beaucoup de chose sur les nombres réel sans parler de leur construction. Epommate 18 septembre 2005 à 11:11 (CEST)

l'article nombre réel avait été vandalisé le 8 septembre. J'ai remis sa version d'origine et j'ai laissé provisoirement le bandeau de fusion. Je ne suis personnellement pas favorable à une fusion et je partage l'avis d'Epommate : il faut compléter l'article sur nombre réel (parler de la "découverte" des nombres irrationels, clarifier le plan...) Un vrai boulot pour un courageux. HB 18 septembre 2005 à 22:09 (CEST)

J'ai été étonné des bandeaux "Page à fusionner" sur ces pages. C'est seulement ensuite que j'ai vu le vandalisme dans l'historique de Nombre réel. Je pense qu'un Nombre réel peut exister en dehors de toute construction mathématique (une définition axiomatique suffit), parce que c'est avant tout une notion intuitive à qui sait manipuler correctement un double-décimètre. Évidement, le fait que l'on puisse les construire à partir d'ensembles plus simples est plaisant pour le mathématicien, mais à mon goût anectotique, et la construction, complexe, ne doit pas être fusionner avec la notion beaucoup plus simple de ce que représente le nombre. En terme de cible, Contruction des nombres réels est à destination des mathématiciens, et Nombre réel est à destination de tout public, et doit contenir un lien vers l'autre (elle le contient déjà). La fusion n'a pas à se faire à mon avis. AGiss 8 octobre 2005 à 19:05 (CEST)

Je pense aussi que la fusion est une erreur, les nombres réels correspondent à une intuition qui n'a pas besoin d'une construction complexe comme sa construction ou son unicité. En revanche, la problèmatique indiqué dans l'article s'applique à mon gout aux rationnels qui remplissent toutes les conditions indiquées, même les décimaux suffisent pour un tel article. En conséquense et tel quel, la problématique des réels n'est pas abordée. Jean-Luc W 28 novembre 2005 à 23:48 (CET)

J'ai refondu l'article pour expliquer la raison de sa construction. La version précédente s'applique à mon goût plus aux rationnels ou aux décimaux. On y traite pas la spécificité des réels. Je propose ici une version ou la spécificité des réels est expliqués même pour des non spécialistes. La redondance avec la construction des réels est nulle. J'espère que l'article est suffisamment simple pour être compris d'un grand nombre, sinon il n'a pas sa raison d'être. Il reste encore du travail pour alléger le style, inclure les images il manque des appendices pour expliquer pourquoi les nombres réels sont nécessaires à l'élaboration de l'analyse ...Jean-Luc W 29 novembre 2005 à 09:25 (CET)

Complétion et complètude

Attention, la complétion est une technique mathématique qui permet de compléter un ensemble, cette technique n'implique pas que l'espace d'arrivée est complet. On peut par exemple 'compléter' l'espace des fonctions en escalier pour obtenir les fonctions d'intégrables au sens de Reimann. Cette complétion se réalise à partir de la norme $L^{1}$, mais la complétion n'est pas un espace complet pour autantJean-Luc W 30 novembre 2005 à 23:58 (CET)

Non, ce que tu dis est faux ; complétion peut très bien vouloir dire "ajouter des éléments de manière à obtenir un espace complet". Le mathématicien se fie au contexte pour déterminer si le mot compléter est utilisé dans ce sens, ou dans un sens plus général, comme dans l'exemple que tu décris.Salle 22 mars 2006 à 10:47 (CET)

Nous somme d'accord ce n'est pas une équivalence, j'ai juste dit que l'implication n'est pas vrai. J'ai bien conscience que la complétion des rationnels par la méthode de Cauchy donne un espace complet, celui des réels, à la différence de la complétion des fonctions intégrables au sens de Reimann qui ne donne pas un espace complet. C'est pourquoi il me semble sage de préciser si l'ensemble complété est complet, ce qui est généralement fait, par exemple pour la construction des réels, le cours présentera (avec ou non démonstration) la complétude de l'espace complété qui n'est pas une évidence par construction.Jean-Luc W 22 mars 2006 à 13:20 (CET)

Oui, désolé, j'ai été pris d'une envie de polémiquer peu constructive...Salle 23 mars 2006 à 17:08 (CET)

Supression du paragraphe sur la construction et étude des propriétés

L'étude des propriétés des réels ne se trouvent pas dans l'article de la construction de R et me semble nécessaire. Les informations qui traitaient de la construction se trouve maintenant dans les propriétés de complétude de R. J'ai supprimé l'information sur les coupures de Dedekind qui trouvent à mon gout plus leur justification dans l'article sur la construction.Jean-Luc W 30 novembre 2005 à 23:58 (CET)

Euclide et la droite des réels

L'article commence à être pas mal. Mais il me semble qu'il faudrait reformuler l'intervention d'Euclide sur les nombres réels. la grande idée d'Euclide est d'associer grandeur et nombre et de faire un pont entre propriété géométrique et propriété numérique (livre X). C'est lui aussi qui donne tout son statut aux grandeurs commensurables et au nombres rationnels mais il ne peut pas avoir inventé la droite réelle car il ne lui serait pas venu à l'idée d'imaginer des grandeurs négatives (les nombres négatifs n'apparraissent en Inde que vers le VIe siècle sauf erreur de ma part). HB 8 décembre 2005 à 23:02 (CET)

Indéniable, c'est une idée qui apparaît au moyen-age chez nous. Oups. Tu es sur de ton coup sur les Indes? Il existe une autre imprécision, c'est Pythagore qui associe grandeur et nombre, mais son formalisme est pataphysique, il rentre dans une mystique spéciale. Donc j'ai aussi un peu abusé. Mais c'est Euclide qui formalise et qui laisse une trace écrite. C'est pour cela que j'ai centré sur lui. Il faut revoir tout cela. Pour l'instant j'essaie de faire quelque chose de sérieux sur les propriétés de R Quel boulot! Jean-Luc W 9 décembre 2005 à 01:06 (CET)

Liens internes utilisés dans l'article

Il y a qq chose de pas tout à fait juste à propose de l'utilisation du tableau Liens internes utilisés dans l'article. J'ai vu qu'il provient de Portail:Mathématiques et son titre a été changé là aussi... (comme c'est le cas quand on change un wikipédia:modèle) Je pense que si un tel tableau doit être utilisé dans cet article, il vaut mieux copier son code (ou encore créer un modèle exprès, mais je ne sais pas si ce serait utlile...) Gene.arboit 11 décembre 2005 à 06:06 (CET) Ok, je pense comprendre un peu mieux ce qui a pu se passer... Gene.arboit 11 décembre 2005 à 06:08 (CET)

Les nombres réels sont un vaste sujet et qui touchent beaucoup de parties des mathématiques, il utilise donc beaucoup de liens. J'ai copié son code et je l'ai un peu trafiqué pour pouvoir l'utiliser dans ce contexte. Penses-tu que c'est une bonne solution? Je n'ai pas modifié le portail, j'ai recopié et détourner pour les besoins propres. Jean-Luc W 11 décembre 2005 à 11:10 (CET)

Ça marche. En effet, ça semble être une idée intéressante. Il y a encore du travail à faire pour y mettre des liens en rapport avec l'article (de la dernière fois que je lui ai jeté un coup d'oeil...). Gene.arboit 11 décembre 2005 à 15:52 (CET)

Non tous les liens sont en rapport avec l'article. En revanche, les articles pointés sont souvent encore un peu pauvres. J'en ai enrichi une dizaine, mais il reste un gros boulot.Jean-Luc W 11 décembre 2005 à 16:46 (CET)

Intervalle non dénombrable

Je viens de lire avec intérêt ta démonstraton de [0 ;1] non dénombrable, que je ne connaissais pas ou que j'avais oubliée. J'ai cependant trois remarques à faire

1. un problème d'indice: d'après ta construction, c'est $u_{n}$ qui ne doit pas appartenir à $[a_{n+1};b_{n+1}]$
2. une simplification possible: pourquoi envisager 3 cas ? deux cas suffisent : si $u_{n}$ est dans la première moitié de $[a_{n};b_{n}]$, on prend le troisième intervalle, sinon, on prend le premier intervalle
3. il est inutile, à mon avis, de faire intervenir la troisième suite : il suffit d'utiliser le théorème des suites adjacentes

Qu'en penses-tu ? HB 11 décembre 2005 à 22:40 (CET)

C'est gentil de lire la preuve avec autant d'attention.

1. Ta première remarque est pertinente, je corrige.
2. Attention, gros piège!!!!! Cela m'a couté une bonne demi-heure de la corriger avec LaTeX. Imagine la suite 1/2, 1/4, 1/8 etc. Ma suite d'intervalles ne contenant pas de $u_{n}$ est de la forme [0 1/2[ [0 1/4[ car je suis obligé d'enlever la borne si je coupe en deux. etc... bref ce ne sont plus des fermés. Que dire de leur intersection? avec des fermés emboités je suis tranquile il reste toujours quelque chose, mais avec des ouverts cela ne marche pas: exemple ]0 1[ ]0 1/2[ etc... si tu prend leur intersection, à la fin, tu tombes sur un vide insondable. Ta suite va converger c'est sur, mais comment me garanties tu que la limite n'est pas dans l'image de la suite $u_{n}$ car elle n'est plus dans l'intersection de tes intervalles. J'ai fait l'erreur hier, Es tu convaincu? Jean-Luc W 11 décembre 2005 à 23:00 (CET)

Non, non, pas convaincue, car si tu lis attentivement ma proposition, je conserve le découpage en 3 (j'avais senti la finesse), mais je limite les choix à deux (le dernier tiers si $u_{n}$ est dans le première moitié, ou le premier tiers sinon. et pour les suites adjacentes ?

D'autre part, tu vas me juger casse-bonbon mais il me semble que toutes les démonstrations faisant intervenir la définition de R par des classes d'équivalences de suites de Cauchy doivent se trouver dans l'article construction des nombres réels au chapitre construction à l'aide des suites de Cauchy, et pas dans l'article nombre réel. Je n'ai pas encore lu toutes les démonstrations mais il semble que tu oublies la première : La somme sur les suites est-elle compatible avec la relation d'équivalence ? Sinon tu ne peux pas définir d'addition. Ce qui confirme que tout ceci n'a sa place que dans construction de R.HB 11 décembre 2005 à 23:15 (CET)

Je me rend, indéniable tu as raison. C'est plus simple, plus clair et donc plus beau avec ta méthode. Ensuite le quotien respecte-t-il l'addition, la multiplication et la relation d'ordre? C'est trois questions sont clairement de l'ordre de la construction des réels. c'est pour cela que tu ne les trouves pas ici. Je dois t'accorder que le fait que R soit un corps totalement ordonnée qui sastifasse l'axiome de la borne supérieure doit donc se retrouver dans la construction de R. La complétude, cela apparaît comme naturel de le mettre à dans la construction. Le cardinal, hum hum, je suis dubitatif, on va faire comme si c'est toi qui a la plus grande expérience dans l'enseignement. Mais il nous reste néanmoins un point de désaccord, je ne te trouve pas casse bonbon. :)Jean-Luc W 11 décembre 2005 à 23:32 (CET)

Merci! Surtout pour la dernière remarque ;) J'ai mis ma patte sur ta démonstration de non dénombrabilité qui a, me semble-t-il, sa place dans l'article. Puisque nous sommes d'accord, je propose de transférer dans l'article construction toute les démonstrations prouvant que R est un corps totalement ordonné complet vérifiant la propriété de la borne supérieure. Je te propose aussi de classer les autres propriétés en deux groupes : celles déjà valides sur Q (archimédien, existence d'un rationnel et d'un irrationnel entre deux nombres : je peux te proposer pour celle-ci des démonstrations nettement plus simples que celle que tu as rédigées) et celles valides seulement sur R et conséquence de la propriété de la borne supérieure (en ajoutant la propriété des suites adjacentes). Les démonstrations de ces propriétés ont aussi leur place dans cet article. Enfin, dernier point : pas d'argument d'autorité sur wikipedia : être prof (bon ou mauvais?) ne donne pas de meilleure compétence pour écrire un encyclopédie. HB 12 décembre 2005 à 09:12 (CET)

Je répond point par point. C'est gentil de me donner une paternité surement pas mérité, mais comme toute mes démonstrations je ne pompe jamais sur les livres et pas de pb de copyright, Cependant tu es à l'origine de la moitié des idées. Avec tes modifs de hier et d'aujourd'hui, cela devient élégant léger et amusant. Ton idée de classement de semble pertinente, les démonstrations que je propose pour l'instant sont: lourdes, avec des notations foireuses, en bref avec LateX je rédige comme un taupin mal dégrossi. Pour les suites adjacentes, regarde l'article sur le Théorème des gendarmes, il me semble qu'il ne faut pas doublonner.

Pour l'instant, je suis un peu coincé sur la topologie. Pour une bonne rédaction, l'essentiel des preuves doivent se trouver dans les articles de topologie, la preuve dans l'article nombre réel devrait donc être uniquement une citation d'articles clé. Mais pour suivre cette logique, il reste encore du taff. L'article sur les Voisinage étaient un tissu de c..., et l'article sur les Espace topologique largement trop pauvre pour pouvoir s'appuyer dessus. Il y a du gros boulot à faire par la bas. Donc sent toi parfaitement libre pour contribuer sur les nombres réels sans risque de se marcher sur les pieds. Jean-Luc W 12 décembre 2005 à 11:30 (CET)

droite réelle, bof

Arg, ouille, je souffre. HB, tu sautes 2000 ans, tu termines par Nous verrons que cette approche n'a pas tardé à fournir des résultats aussi troublants que fondamentaux. au XVII siecle et hop d'un seul coup d'un seul tu retournes en arrière avec notre bon Euclide. Quelle horreur!!! Je reconnais qu'avant c'était faux donc encore plus horrible. J'imagine à terme la solution suivante: En même temps le pb des décimaux, arrive les notations des nombres qui n'existe pas, les nombres négatifs puis carrément délire des nombres imaginaire. Avec un petit passage en Inde (c'est beau et c'est exotique) et un séjour en Italie chez ce sacripant de Cardano. Puis l'immense Newton. On termine bien plus tard avec la rigueur teutonique et l'approche axiomatique de Hilbert. En attendant, il faut bien se contenter de ta version, la mienne est hélas un mensonge. :) Jean-Luc W 12 décembre 2005 à 19:44 (CET)

oui ce n'est pas très génial, mais ce n'est pas faux et je ne me sens pas d'écire un roman sur l'histoire des nombres en général. C'était la manière de réparer une affirmation fausse en cassant le moins possible. HB 12 décembre 2005 à 20:09 (CET)

Européo-centrisme

L'histoire est européo-centrée. Marc Mongenet 14 décembre 2005 à 08:02 (CET)

Ce serait évidemment plus joli d'avoir une histoire mondiale des nombres réels mais je crois que nous sommes confrontés à deux problèmes:

• Il existe un trou sur le rôle de l'Inde avec l'invention des nombres négatifs et la numération. Si tu connais des sources, c'est avec plaisir que je corrige.
• Les réels, c'est avant tout la compréhension profonde de la nature topologique des nombres, comment expliquer Pi ou racine de deux. C'est une histoire essentiellement européenne. Il ne faut pas confondre cette histoire avec l'histoire des nombres qui, elle est mondiale. Par exemple, si les nombres négatifs ont été avant tout découvert par les indiens, ce sont les marchands européens qui les ont réinventer pour des raisons commerciales mille ans après, leur technique a été reprise par Descartes, puis par les tous les matheux européens. C'est de cette ligne de pensée que provient la construction des réels.

convaincu?

Non. Par européo-centrée, je ne veux pas dire que ça parle trop de l'Europe, mais que ça traite la question d'un point de vue européen. Un seul exemple : « Elle vint de perse ». Marc Mongenet 14 décembre 2005 à 08:39 (CET)

Tu as raison, cette phrase est en effet Européo centré. Je vais relire sous cet angle et proposer une correction, si tu en vois d'autres n'hésite pas à corriger ou à communiquer.Jean-Luc W 14 décembre 2005 à 14:24 (CET)

Ce que j'en pense

1. Déjà, je penses qu'il serait bon d'avoir une convention sur la structure globale d'un document mathématique : je pencherais pour que les thèmes historiques soit traités dans une partie Histoire clairement définie dans tous les articles, de sorte que le lecteur sache à quoi s'attendre en passant d'un article à l'autre.
2. D'autre part, il est amha impossible de parler de l'histoire des nombres réels depuis la préhistoire sans passer par les entiers naturels, relatifs, les rationnels, les complexes, les moyens d'écritures des nombres dans différentes civilisations et à différentes époques, tout ça pour arriver aux réels, alors que l'article est juste sur les nombres réels. Cela revient finalement à parler de l'histoire des nombres, que je m'attendrai plus à voir dans l'article Nombres, où l'on pourrait développer à l'infini et renvoyer à des articles sur les différents nombres réels, etc ... pour les propriétés mathématiques. Dans l'article nombres réels, la partie histoire devrait donc plus porter sur l'histoire de la formalisation des nombres réels et seulement réels, avec peu d'allusions aux autres nombres qui ont leur articles.
3. Note sur les images : des mathématiciens qui ont réfléchis sur ce sujet, il y a de quoi en tapisser ma chambre. Aussi, un simple lien vers l'article qui les décrit suffirait amplement, et c'est dans les articles à leur sujet que devrait se trouver leur portrait. On pourrait par contre mettre d'une certaine manière une liste vers les mathématiciens qui ont le plus réfléchit sur le sujet.
4. Quelques autres points concernant les tournures du style du dialogue avec les phrase à la seconde personne du pluriel : dans les conseils du wiki anglais, ils disent que ce genre de tournure doit être le plus possible évité, ainsi que celles du style il est évident que. Je n'ai rien vu sur ce dernier point dans l'article, mais si on fait une convention de style, faudra pas oublier de le mentionner.
5. Note sur les boîtes de démonstration, etc... Elles sont amha beaucoup trop larges, et sont beaucoup trop visibles par rapport aux séparations de partie. Faudrait donc les rétrécir de sorte qu'elle ne contiennent que le minimum lorsqu'elles sont enroulées, c'est-à-dire les textes Démonstration et Dérouler, ou juste un petit symbole à la place du Dérouler, voir créer un nouveau modèle à cet effet, car le fait de prendre toute la page lorsqu'elle sont déroulées est naturel.
6. Je ne trouve pas les appendices très pratique, et je ne vois pas à priori pourquoi on devrait les utiliser.
7. Sur la partie liens internes, pourquoi ne pas faire juste un lien vers la catégorie Mathématique qui dans le futur sera correcte ? Les nombres réels sont liés à l'ensemble des mathématiques ou presque (là je ne sais pas trop) donc vla
8. Sur l'introduction des notions théoriques, je pencherais pour une approche cursus, ie j'introduirais d'abord les notions compréhensibles par les collégiens, puis les lycéens, puis faq, etc... Cela permettrait une meilleure accessibilité aux lecteurs, puisqu'ils pourraient directement lire ce qui les intéressent sans pour autant être rebutés par des contenus trop approfondis et abstraits. Exemple : la dernière fois, j'ai voulu regardé un truc sur les séries dans Universalis, j'ai vite capitulé.
9. Sinon, en introduction, il serait peut-être bon de mettre un abstract, avec une définition très rapide et intuitive (toujours le wiki anglais), puis une description générale avec des liens ou un truc comme ça, avec un contexte historique rapide.--Xinos 14 décembre 2005 à 09:43 (CET)

1. Je partage avec toi la nécessité de définir une structure globale. Je ne pense néanmoins pas qu'un paragraphe historique soit toujours nécessaire, particulièrement pour les articles techniques comme espace topologique ou construction des nombres réels. Nous risquons de devoir nous contenter de plusieurs structures globales.
2. Tu mets le doigt sur une mésinterprétation qui semble être fréquente sur le sujet de l'article: des nombres en général ou des nombres réels. J'ai fait le choix des nombres réels uniquement pour deux raisons. Tout d'abord, il existe de nombreux articles dans Wikipédia sur l'histoire des nombres en particulier sur la numération, ensuite l'article deviendrait trop vaste à mon goût si l'on traite de tout les nombres. Pour la petite histoire l'ordre c'est fraction puis complexe puis relatif puis réel. C'est rigolo mais cela ne correspond pas à l'ordre que nous avons appris à l'école. Les entiers ne font pas parti de l'histoire mais de la préhistoire, les fractions apparaissent avec l'écriture.
3. Pour les illustrations, je ne serais pas loin d'être de ton avis, mais la communauté penche pour l'opinion inverse^{[réf. nécessaire]}. Tu devrais lire les commentaires sur les rejets d'articles de qualité. Sur la liste des mathématiciens qui ont contribué au sujet, je me demande si tu as raison, je ne les ait pas choisi au hasard, si tu penses à des oublis importants citent m'en quelques uns, nous pourrons alors pousser plus loin l'analyse.
4. Sur le style, il n'est pas encore assez encyclopédique et horripile certains. J'essaie de corriger de mon mieux.
5. Sur les boites de dialogues, nous sommes d'accord mais je ne sais pas faire. Peux tu contribuer?
6. Sur les appendices, je partage ton opinion.
7. Ce n'est pas si simple, elle est divisé en 28 sous-catégories avec au total des centaines d'articles à chercher dans les sous catégories, ce n'est pas simple un système de lien simple semble très demandé par la communauté.
8. Je partage avec toi l'idée de cursus, mais si ma mémoire est bonne, tu n'as rien sur les nombres réels avant la terminale. C'est surement plus frais pour toi et si j'ai tort alors nous devrions être capable d'améliorer. J'ai essayé une approche en escalier avec un historique avec les grandes idées et un ordonnancement de la partie plus technique en fonction de la complexité. approche axiomatique d'abord (niveau terminale) puis topologie et cardinaux (1er année supérieur) et il faudrait finir par la théorie de la mesure avec mesure de Haar et analyse non standard avec des math un tout petit peu plus élevées. J'ai souffert du même syndrome que toi avec l'universalis.
9. En intro je pense que le sujet clé est la différenciation entre la problématique des nombres réels et des nombres en général qui semble une confusion fréquente à cet égard à propos de l'article. A mon sens l'article anglais fait la confusion, dans ce cas l'article perd ton son sens car je n'évoque que la problématique de la complétude.

En conclusion nous sommes d'accord sur tes points 1 4 5 6. Je suis d'accord avec ton point 7 mais je ne sais pas faire mieux. Pour moi le plus important c'est l'intro, elle manque. T'ai je convaincu sur les autres points? Jean-Luc W 15 décembre 2005 à 00:31 (CET)

1. Je reste sur mon opinion. Les notions mathématiques ont toutes une histoire. Les notions mathématiques ne sortent pas d'un chapeau, mais son le fruit d'une réflexion intense d'un groupe plus ou moins grand de mathématiciens. Pour rester sur l'exemple des espaces topologiques, on peut se poser les questions suivantes : Quels sont les mathématiciens qui sont à l'origine de cette notion ? D'où vient le mot topologie ? Où la notion est-elle apparue ? Et quand ? A mon avis, il y a presque toujours moyens de faire une partie Histoire, même pour les notions de haut niveau et relativement récente.
2. Mouais. Je sais pas trop. Faudrait voir ce qu'en pense les autres. Je n'ai pas assez étudié le sujet pour pouvoir juger correctement. Ok. J'ai enfin capté. M'en aura fallu du temps !!!
3. Ah ben si la communauté penche pour l'inverse. J'ai juste trouvé qu'il y avait un peu beaucoup d'images, ce à quoi je ne m'attends pas dans une encyclopédie classique (notamment du fait du poids du papier entre autres), c'est pour ça que ça m'a choqué. Je n'y connais pas grand chose sur l'histoire des mathématiques, donc je ne saurais te dire si t'en as oublié.
4. Alors sur ce concerne le style, j'ai juste mentionné ça dans l'optique d'une convention éventuelle où il ne faudra pas oublier de le dire.
5. Pour les boîtes de dialogues, il suffi(ra) de demander un nouveau modèle qui répond aux éxigences.
6. Comme ça on est d'accord.
7. L'avis de la communauté prime.
8. Il en va évidemment de même pour les espaces topologiques ou d'autres notions très complexes. L'idée est que le lecteur néophyte puisse trouvé le type d'information qu'il cherche aussi rapidement qu'un professeur de mathématiques. Par exemple, on pourrait afficher le niveau d'étude requis, ou les notions nécessaires à la compréhension de l'article.
9. Ok --Xinos 15 décembre 2005 à 18:26 (CET)

Définition axiomatique

Quelle est exactement la définition axiomatique de R? Dans mes souvenir c'est "R est un corps commutatif, archimédien, complet. Ce qui semble être dit dans l'introduction du chapitre "propriétés de R". Si c'est bien le cas, pourquoi parler de la borne supérieure et de totalement ordonné dans le paragraphe sur l'approche axiomatique ?

Tes souvenirs sont exacts, il existe une équivalence entre l'axiome de la borne supérieure et de complétude. De plus tout corps totalement ordonné est archimédien^{[Information douteuse]}. Archimédien est une propriété plus forte que totalement ordonné, c'est pourquoi je l'ai choisi, la tradition dans une définition axiomatique est de prendre la formulation la plus générale et donc la plus faible. Dans l'introduction j'ai repris les propos de Hilbert, dans la définition je me suis fondé sur le grand Nicolas. Si ma réponse ne te semble pas convaincante, modifie ou fait moi signe. Si ma mémoire est bonne, les écoliers apprennent tous ta définition, qui peut apparaître comme un argument contre Nicolas qui à mes yeux est parfaitement valable. Jean-Luc W 14 décembre 2005 à 23:39 (CET)

Images

Pour bien faire comme il est écrit dans Wikipédia:Merci pour les photos, j'ai créé la figure Image:Carré pour nombre réél.svg d'après Image:Carré pour nombre réel.jpg (format SVG à la place de JPG. Prix à payer : une faute d'orthographe dans le titre de l'image, mais je ne sais pas comment faire pour renommer l'image :o). Si celle-ci vous semble correcte, elle peut être utilisée dans l'article. Autrement, il est possible d'y apporter des corrections simplement. Je travaille maintenant à faire de même pour Image:Contre_exemple_Rolle.jpg. Enfin, je trouve que l'image Image:DroiteR1.png gagnerait à être retravaillée pour améliorer la lisibilité du texte. On pourrait aussi envisager d'utiliser cette image disponible sur Commons : Image:Real_number_line.svg. Wiz ¨ 15 décembre 2005 à 01:23 (CET)

Et voici Image:Contre exemple Rolle.svg. Wiz ¨ 15 décembre 2005 à 02:05 (CET)

Super cool, je garde l'image disponible que tu cites pour l'intro. Enfin si tu as d'autres idées... Jean-Luc W 15 décembre 2005 à 07:14 (CET)

Je corrige la faute d'orthographe, et je te la colle dans Image:Contre exemple Rolle bis.jpg. Un jour il faudra bien que tu m'apprennent à faire des svg c'est plus joli et surtout pour léger. Jean-Luc W 16 décembre 2005 à 14:17 (CET)

C'est vrai que le svg est plus adapté pour les figures de l'article. Pour les créer, j'ai utilisé Inkscape. Il est simple d'emploi et plutôt bien pensé. J'ai essayé aussi OpenOffice.org Draw qui m'a paru moins pratique.

Quant à la faute d'orthographe, je n'ai pas bien compris ton message (lien rouge ci-dessus). En fait, c'est bien moi qui ai commis une faute dans le titre de Image:Carré pour nombre réél.svg :o) Il faudrait la renommer en Image:Carré pour nombre réel.svg, mais à part supprimer/recréer, je ne vois pas comment faire ... et ça n'a pas énormément d'importance :) Wiz ¨ 16 décembre 2005 à 23:18 (CET)

tentative d'allègement

Suite aux discussions sur cette page, et aux discussions figurant sur la page de Jean-Luc W, je vais tenter un allègement de l'article. Il me semble que doit se dégager dans la partie historique la mise en place des fractions et le caractère incomplet de cet ensemble. Il ne me semble pas opportun que cet article deviennent une histoire des nombres même si un renvoi vers des articles existants ou futurs doit s'envisager.

Je verrai bien un développement en 3 parties de la partie histoire

• 1. Mise en place des fractions et correspondance avec des longueurs
• 2. Les problèmes de complétude (irrationnalité de racine de 2, écriture décimale illimitée non périodique, convergence de série et suite, calcul infinitésimal)
• 3. Les solutions

Il reste que l'officialisation des nombre négatifs et la droite réelle casse cette organisation car il s'agit d'un problème et d'une solution partielle.

Je me laisse encore quelques jours de réflexion en attente de vos commentaires HB 21 janvier 2006 à 11:47 (CET)

travail effectué. Maintenant, j'ai encore deux envie

1. supprimer le tableau de liens internes qui fait double emploi avec le portail mathématique et les liens internes wikifiés en cours d'article ( j'attends votre avis sur la question)
2. proposer l'article dans la section article de qualité (mais il faudrait pour cela que déjà les personnes intéressées par cet article fignolent le travail, allègent éventuellement le style, corrigent les fôtes d'ortograf qui traînent.

HB 26 janvier 2006 à 15:17 (CET)

Paradoxes de Zénon

Les paradoxes de Zénon ont évidemment leur place dans cet article, mais je me demande si le choix de les mentionner dans nombre réel#La solution est plus riche que prévue est le meilleur. Je les avais, ailleurs, vus présentés lorsqu'il était question de la convergence de séries. Que penser de cette présentation-ci ? Gene.arboit 18 février 2006 à 03:13 (CET)

Les paradoxes de Zenon sont multiples (voir l'article, en particulier l'histoire de la flèche) et certains d'entre eux sont résolus par les convergence des séries et d'autres par le peaufinement du calcul infinitésimal. Je pense que c'est en pensant au second aspect que Jean-Luc W y fait allusion dans cette partie. Je pense donc que l'on peut faire allusion aux paradoxes (a) dans la partie sur les séries, (b) dans celle sur le mouvement (c) nullepart. Comme l'article me parait bien structuré comme cela, je préfère le laisser tel quel mais si tu penses arriver à le modifier sans le destructurer ne te gène pas. HB 18 février 2006 à 09:51 (CET)

Je vais y réfléchir ; merci de vos commentaires ! Gene.arboit 18 février 2006 à 19:14 (CET)

Ajout d'un paragraphe

"Les nombres réels dans la vie de tous les jours". Je pense que ça répondra aux principales critiques formulées par Arnaudus. Il est assez difficile de faire remarque que les réels que l'on utilise au quotidien, sont surtout des entiers, et quelques rationnels, mais je pense qu'il faut insister là dessus, car les remarques faites prouve que ce n'est pas vraiment compris.

Je pense qu'il manque aussi une petite section sur les nombres réels qui ont posé de réels problèmes en nombre (pi,e, 0, -1, nombre d'or ... ) ? Mais est ce que c'est sur cette page qu'il faut le mettre ?

"Les nombres réels dans la vie de tous les jours"

Il me semble que ce paragraphe est à mettre en DEBUT d'article. Il aide à comprendre le concept intuitivement ?

C'est là que j'avais commencé à mettre l'information qui y a été transférée. Moi aussi, il me semble que là meilleure place est tout de suite après l'intro. Des objections ? Gene.arboit 24 février 2006 à 15:50 (CET)

Apparement non... Je pense qu'on peut le déplacer v_atekor 24 février 2006 à 16:52 (CET) fait:  Oui v_atekor 24 février 2006 à 17:08 (CET)

"Les nombres réels dans la vie de tous les jours" (bis)

Ce paragraphe n'est pas bon du tout. La vulgarisation est beaucoup trop poussé (les nombre négatifs, c'est pour allez au sous-sol, et les nombre rationnels, c'est pour couper un gâteau). Ce paragraphe n'apporte vraiment rien à l'article. L'historique fait en revanche très bien sentir au lecteur ce que sont vraiment les nombres réels. On notera quelques phrases qui n'ont pas leur place ici :

• tels que les nombres transcendants utilisés pour satisfaire l'appétit des mathématiciens
• Bien que les nombres réels aient pour objectif initial de représenter n'importe quelles grandeurs physiques

Selenite 26 février 2006 à 11:47 (CET)

Ces deux phrases ont effectivement été modifiées à la fin du paragraphe. Par contre, il faudrait que les détracteurs s'entendent : entre Arnaudus qui reproche le manque de vulgarisation, et Selenite qui reproche son excés, il faudrait arriver à une position commune.

Voici ma position : je veux bien que l'on vulgarise, mais à condition qu'aucune virgule du contenu actuel ne soit supprimée. L'article est très bien fait (pour un lectorat averti, j'en conviens), et très riche. Il ne faut pas perdre ce qu'il contient. Ainsi, je reprend la proposition qui a déjà été faite, à savoir la scission de l'article. L'un présentera de manière vulgarisée et informelle (on pourra évoquer les gâteaux, les sous-sols, les bonbons, etc.) les nombres réels. On y verra la droite des réels, des choses amusantes comme 0.9999... = 1, et surement une définition à partir de la droite des réels (c'est ridicule, mais bon...). L'autre présentera l'histoire des réels, en passant par les constructions des réels aux définitions axiomatique. Cette fois ci, l'article ne visera pas la vulgarisation mais une rigueur minimum. Une dernière fois, je demande à ce qu'il n'y ait aucune perte de contenu dans les opérations. Merci d'avance. Selenite 27 février 2006 à 18:40 (CET)

Est ce que le découpage en 2 parties de l'article peut être fait en faisant 2 chapitres (comme c'est le cas actuellement). Il y a un article "construction des nombres réels" qui a une approche formelle ? v_atekor 28 février 2006 à 15:52 (CET)

L'article construction des nombre réel est un article de définition : il ne fait pas sentir ce que sont les nombres réels comme le fait l'historique. Le second article que j'ai souhaité dans ma précédente réponse n'est donc pas substituable à l'article Construction des nombres réels. Ce dernier présente les définitions possibles des réels, l'autre traiterait du chemin qui a mené à ces définitions. Pierre Lairez 28 février 2006 à 17:58 (CET)

Pour avoir fait le test de faire lire à 4 personnes sans notion de "mathématiques avancées" (math. niveau 2nde, mais avec un enseignement universitaire), aucune n'a pu atteindre la fin de l'article, et aucun n'a compris les différences entre réels et rationnels sans ce premier paragraphe. Sur 4, 3 ont conclu à la définition réel=irrationnel=nombre à développement décimal infini. Exemple donné : 1/3. Avec ce premier paragraphe, certaines choses sont revenues dans l'ordre, même si je ne pense pas qu'elles aient tout compris (notament au niveau de la continuité). L'article de vrai vulgarisation initial est indispensable, et l'illusatration partage d'un gâteau (en parts égales)=rationnels est indispensable. Et je pense qu'il faudrait d'autres exemples. (par ex. 2.99999... =3 ). Les approches vulgarisation/historiques/formelles sont toutes indispensables, mais pas à tous les lecteurs. v_atekor 27 février 2006 à 10:38 (CET)

Ok pour les deux phrases, je les revois.

Elucubration

Je vous livre une réflexion personnelle sur la question de la dénombrabilité. J'ignore s'il est judicieux de la considérer (et alors sous quelle forme) ou s'il vaut mieux ne pas en faire mention dans l'article. Je pense qu'elle peut, aposteriori, éclairer la difficulté qu'il y a à faire le saut dans les réels.

L'idée est la suivante : il n'y a que très peu de nombres réels qui soient « exprimables ». Pour désigner un réel particulier, le mathématicien utilise des phrases du genre « la racine positive de l'équation x^2-2=0 » ou « l'intégrale du logarithme entre 1 et 2 » etc... Comme on n'utilise qu'un nombre fini de symboles pour écrire un message de ce genre, et qu'un tel message a une longueur finie, l'ensemble des messages possibles est dénombrable. Ainsi il y a

• une quantité dénombrable de réels que les mathématiciens peuvent désigner
• une quantité indénombrable de réels que personne ne pourra jamais montrer du doigt. Le « nombre réel générique », en quelque sorte n'existe pas...

Avez-vous déjà rencontré ce genre d'idées ou une variante ? si oui quel nom cela porte-t-il ? Je suppose que pour une vraie présentation mathématique il faut abandonner les langages humains pour des modélisations plus sérieuses (algorithmes, automates et autres trucs impigeables...) Peps 11 mars 2006 à 22:12 (CET)

Je pense qu'à ce point-ci, on parle de Nombre transfini. Il serait en effet bien de les introduire dans l'article... il n'y a pour le moment qu'un lien en bas de page «  en rapport avec la notion de nombre »... En fait, je me rends compte maintenant que dans la section nombre réel#Cardinalité, tout ceci est introduit, mais en effet, on pourrait développer avec les automates, les langages récursifs, etc. Gene.arboit 11 mars 2006 à 23:32 (CET)

Je ne suis pas sur que la problématique soit avant tout celle des nombres transfinis mais plus celle de la logique. Ce genre d'idée n'est pas une élucubration mais une des idées qui fondent la logique moderne. L'ensemble des nombres 'accessibles' est dénombrable alors que les réels ne le sont pas. Les premiers mathématiciens qui ont travaillé sur cette question sont Hilbert et Kantor. Elle débouche droit sur les travaux de Zermelo et Zorn. Les nombres transfinis sont une conséquence d'un nouveau formalisme. Je n'ai fait qu'introduire tout ceci car il me semblait que l'on s'éloignerait un peu trop du sujet. Si l'on introduit les automates, on est à mon sens un peu condamné à introduire les problèmes N P complets. Il faudrait donc introduire d'abord la logique, l'axiome du choix puis les pb NP complet, voilà pourquoi je n'ai qu'introduit le sujet. Jean-Luc W

Donc « l'article détaillé » pour cette section ne devrait pas être nombre transfini, mais plutôt histoire de la logique moderne ou qqch. comme ça ? Gene.arboit 20 mars 2006 à 02:13 (CET)

Je suis d'accord avec ta conclusion. De plus elle est en phase avec la rédaction actuelle de Wikipedia, l'anayse non standard est présenté comme une complétion de la base axiomatique classique donc une extension d'une problématique logique, ce qui est d'ailleur la présentation la plus naturelle.Jean-Luc W 20 mars 2006 à 12:49 (CET)

Une variante de cette notion de 'désignable', c'est ce qu'on appelle nombre calculable, et on aborde là les machines de Turing, la complexité. Je ne sais pas si c'est ce que Jean-Luc désigne par logique moderne. FrançoisD 21 mars 2006 à 12:13 (CET)

Par logique moderne je fais référence aux travaux qui fondent la théorie des ensembles qui démarre par le formalisme de Nicolas Bourbaki et qui s'enrichiront par des concepts comme l'axiome du choix avec les théorèmes de Zorn et Zermelo, le théorème d'incomplétude de Gödel ou l'analyse non standard.Jean-Luc W 21 mars 2006 à 12:23 (CET)

Il me semble qu'il serait bien d'ébaucher où tout ça s'en va ou, autrement dit, quel devrait être « l'article détaillé » pour la section Cardinatité... Est-ce qu'on veut bien histoire de la logique moderne ? On n'a pas encore d'histoire de la logique non plus, comme les anglophones l'ont (en:History of logic), mais on a Logique et Logique mathématique. Si on veut commencer par "copier" les Anglais, je peux faire une traduction rapide de History of logic... Qu'est-ce qui est préférable ? Gene.arboit 21 mars 2006 à 14:58 (CET)

Tu poses les bonnes questions, il y a de quoi faire un article magnifique. amha, la logique doit être traitée dans son ensemble, se limiter à la logique moderne c'est perdre la capacité d'expliquer pourquoi on en est arrivé là. Quelques remarques préalables: le tournant du début du XXeme siècle voit une véritable révolution dans la pensée, la vérité (au sens ou l'entendait Platon) s'éffondre en mathématique la prédictabilité disparaît en physique. En philo Nieztsche a détruit la transcendance juste avant et si l'on pousse le bouchon plus loin avec Freud l'homme n'est plus le maître dans sa propre maison. En bref, le tournant du XXeme début du vingtième siècle est une remise en cause du vrai dans un sacré domaine. Eviter la philo serait à mon sens une grave erreur. Deuxième remarque, les anglais ont fait un bon travail de dictionnaire, ils ont essentiellement cités l'origine des apports sans véritablement en expliquer le sens ni en comment ces dits apports s'imbriquent. Enfin, il y a la montagne du XXeme siècle. Sur la partie mathématique je comprend à peu prêt les idées de Hilbert Cantor Bourbaki Zorn Zermelo Gôdel ou Robinson sur la logique, mais j'avoue avoir une vrai lacune sur la philo et même Husserl qui est à cheval sur les math et la philo, pour tout dire, je suis même plutôt une bille. Je propose d'abord la création d'un plan qui changera au moins douze fois mais qui permettra de structurer nos idées, si cela te convient je réfléchis là dessus et je te propose quelque chose d'un peu plus sophistiqué que les anglais?Jean-Luc W 21 mars 2006 à 15:37 (CET)

Je suis tout à fait pour l'idée d'attendre vos avis... et ceux des autres aussi. :-) Gene.arboit 21 mars 2006 à 16:11 (CET)

J'ai commencé à regarder un peu cette histoire, j'imagine maintenant les grands pans de la manière suivante:

Aristote et Euclide pour le moyen age, l'un développe une logique presque ensembliste (pas au sens moderne) relativement riche mais pas suffisamment opérationnel pour servir réellement les mathématiques. L'autre formalise par de la géométrie comme base axiomatique et développe un vocabulaire comme axiome, postulat, hypothèse, proposition de manière pragmatique et un peu naïve avec notre recul.

Le moyen-age développe toute une logique essentiellement fondée sur Aristote et un peu arabe avec des gens comme Averoes, mais pour l'instant je n'ai pas encore compris les finalités si ce n'est que cela n'a pas l'air de concerner beaucoup les mathématiques. (Et je fais peut-être une énorme bourde).

Fin du moyen-age, les mathématiques s'autorise alors une démarche non logique au sens d'Euclide, Cardano utilise des nombres imaginaires dans des calculs intermédiaires et le justifie par le résultat qu'il vérifie a posteriori. Le calcul différentiel quitte carrément la notion de logique formalisée, les calculs fonctionnent parceque le résultat a une bonne tête. Ce qui largue une majorité de mathématicien qui ne retrouvent plus leurs petits. Avec Newton, il ne sera plus possible de refuser ce nouvel état ou les mathématiques n'ont jamais été aussi loin de la logique.

Le XIXeme réconcilie avec Hilbert la logique et les mathématiques avancées Hilbert mais fin à ce qu'il qualifie de maladie infectieuse. La notion d'axiome prend un nouveau tournant (définition axiomatique d'un concept et base axiomatique d'une mathématique sont deux notions relativement différentes).

La réconciliation est de courte durée Cantor sème la pagaille en modifiant inconsciemment la base axiomatique. Dans le même temps il met le doigt sur des propositions indécidables (qui ne pourront être résolus qu'avec une compréhension de la logique plus profonde).

La logique ne devient plus logique. La logique qui reflétait essentiellement une évidence intuitive, s'ouvre à des paradoxes comme celui du menteur ou de l'ensemble de tous les ensembles. Husserl montre que la logique ne peut pas être cette base intuitive que tout le monde accepte.

Les mathématiques sont devenus un fatras inextricable, la base axiomatique définie par Euclide et complété par Hilbert pête de partout. Nicolas Bourbaki, reconstruit toutes les maths sur une nouvelle base logique, la théorie des ensembles. Il est alors admis que la logique n'est plus une transcendance fondée sur une base d'axiomes intangibles obligatoires et éternelle mais Nicolas en choisi une et demi (il indique toujours quand il utilise l'axiome du choix).

La logique gagne en relativité avec Gödel, les propositions ne sont plus vrais ou fausses mais aussi indécidables. On peut ajouter autant d'axiomes que l'on veut et monter des logiques différentes avec des axiomes contradictoires.

La logique devient une des bases d'une nouvelle science, l'informatique. Elle contient probablement la base d'un des grands problèmes de notre temps, les N P complêts. Et on est toujours loin de pouvoir résoudre le pb du voyageur de commerce même si l'on pense maintenant qu'il est indécidable.

Une base axiomatique remet au goût du jour les vielles méthodes de calcul diff de manière rigoureuse, c'est l'analyse non standard, on démontre simplement et de manière élégante les vieux résultats, mais à ma connaissance, on a encore cassé aucun théorème majeure avec ces méthodes.

En en oubliant la moitié Fedge par exemple, en négligeant la philo pourtant omniprésente, voilà un premier jet. Conclusion, l'article se promet d'être passionnant et surement encore plus riche et plus complexe que les nombres réels. Jean-Luc W 22 mars 2006 à 14:05 (CET)

J'ai ébauché histoire de la logique. J'espère que je n'ai pas fait trop d'erreurs... mais, bon, ça dit bien « ébauche » deux fois. Gene.arboit 24 mars 2006 à 03:44 (CET)

Les nombres réels dans la vie de tous les jours en science

Trois éléments de gènent un peu dans la rédaction actuelle. Tout d'abord, l'idée de mesurer le périmètre de l'univers me semble relever d'une conception classique et non relativiste et qui ne fait donc pas grand sens (au moins sans une explication précise). Je comprend que l'on puisse en donner une définition précise du rayon, mais j'ai quelque doute pour le périmètre. Quand à le mesurer avec la précision de la taille d'un atome d'hydrogène cela n'a pas beaucoup de sens physique.

Sur la mesure des grandeurs, la précision des réels est maintenant largement inutile en physique. L'exemple de la droite dessinée sur une feuille de papier montre qu'une rêgle avec suffisement de graduations fait toujours l'affaire. Même en physique théorique, une rêgle graduée qui représente finalement bien l'idée intuitive de décimal suffit, puisqu'une précision infinie ne fait pas sens et pour Feynman ne fera probablement jamais sens. Si l'idée est exprimée, elle ne me semble pas précise et choque un peu mon sens de la rigueur.

Enfin, si pour la mesure des grandeurs, la précision des réels est inutile, en revanche, les propriétés topologiques des réels sont indispensables aux modélisations physiques. La physique a besoin de l'existence de solution à la problématique que représente la surface d'un cercle même si elle n'a que faire d'une précision infinie dans la réponse, une précision finie et aussi grande que l'on souhaite est suffisante.

En bref, je ne trouve pas la rigueur que les mathématiciens affectionnent dans ce paragraphe. Je comprend aussi que certains peuvent penser qu'apporter de la rigueur dans ce paragraphe risque de le rendre peu compréhensible pour tout un public. Si personne ne s'oppose à ma vision, je propose une réécriture de ce paragraphe, mais je n'en fait pas une affaire d'état.Jean-Luc W 20 mars 2006 à 01:47 (CET)

Peut-être en opposant ce que l'intuition dicte (précision sur les mesures) et les propriétés vraiment utiles des réels en physique moderne (laquelle peut être contre-intuitive) ? Gene.arboit 20 mars 2006 à 02:18 (CET)

Cela amène deux idées, la première idée repose sur le fait que pour construire une théorie de la mesure, il est nécessaire de pouvoir donner un sens à la surface d'un cercle, indépendamment de la notion de précision. Il serait fort difficile de construire une physique sans cette propriété. Pour le reste, une précision infinie de pi n'intéresse pas les physiciens. La deuxième est largement plus subtile, la physique, si elle condamne la notion de précision infinie suppose des propriétés topologiques. Sans entrer dans la complexité de la constante de Planck ou dans l'electromagnétisme, la théorie de Newton suppose la pertinence du calcul différentiel. Ce que j'ai essayé d'expliciter dans l'article. La constante de gravitation (en théorie classique) suppose donc comme cadre de la théorie le corps des réels, en revanche cette constante qui ne peut avoir une précision infinie s'exprime parfaitement dans l'anneau des décimaux. Expliciter rend l'article parfaitement rigoureux, mais va totalement larguer un lecteur comme Peps, qui, comme l'immense majorité des lecteurs, ne dispose comme fondement théorique sur la compréhension de la mesure, que d'une conception couvrant un degré de compréhension déjà assimilé dans le monde antique. Nous allons alors être taxé de libido minoritaire vis à vis des coléoptaires largement cités dans les polémiques.Jean-Luc W 20 mars 2006 à 08:41 (CET)

J'ai reformulé un petit peu tes modifications pour les rendre plus simple à comprendre (Enfin, j'espère que c'est le cas et que je me suis pas trop éloigné de ce que tu voulais dire). Est-ce qu'il faut introduire quelque par la théorie de la mesure? Au moins donner un lien vers Lebesgue? Est ce qu'un paragraphe disant (informellement) que les entiers et rationnels sont "rares" avec les quelques notions de topologie qui sont encore intuitives (Rareté, densité, fermeture)  ?? v_atekor 21 mars 2006 à 10:07 (CET)

Habituellement c'est du périmètre de la galaxie et non de l'univers dont on parle… Je crois que cette phrase n'a jamais été qu'une boutade critiquant les recherches inutiles de décimales de Pi.

Je ne suis absoluement pas d'accord avec les dernières modifications faites sur le premier paragraphe faites par Utilisateur:DYLAN_LENNON. Ce paragraphe a été écris dans une optique de vulgarisation pour répondre aux critiques de différents lecteurs. Pire l'ajout fait (puis supprimé) sur les nombre décimaux est faux. Je ne sais pas si il s'agissait d'une plaisanterie de 1er Avril, mais c'est mal venu. v_atekor 3 avril 2006 à 10:36 (CEST)

L'avantage des maths, c'est qu'au moins il est difficile de polémiquer sur le vrai ou le faux. Maintenant deux erreurs dans une même phrase, c'était plutôt mignon, 0 n'a qu'une une unique représentation décimal, et à ma connaissance c'est le seul décimal à avoir cette propriété. Jean-Luc W 3 avril 2006 à 13:49 (CEST)

Tu parles de mes modifs, non ? (Utilisateur:DYLAN_LENNON n'a rajouté qu'une phrase en anglais qui a été supprimée) R 3 avril 2006 à 18:28 (CEST)

Non R, je parle des modifs de Utilisateur:DYLAN_LENNON. Je ne suis pas sur que les tiennes améliore vraiment l'article, mais elle ne sont pas fausses. Sur les suppressions des phrases type monter au troisième étage, je comprend que cela puisses te gêner pour un AdQ. pour la modif sur l'utilisation en physique de la constante Pi, je n'ai pas trouver de fonction plus simple qui utilise un transcendant. Maintenant c'est vrai qu'une référence à Heisenberg au début, ce n'est pas subtil. Tu ne m'as pas dit si la nouvelle formulation te plaisait sur les réels pour la science et si la partie philo te convient? Jean-Luc W 3 avril 2006 à 18:37 (CEST)

Arf ! Je répondais à v_atekor, en fait... Pour les réels en science, c'est indubitablement mieux qu'avant. Je ne trouve pas que la section soit parfaite, mais je n'arrive pas à identifier ce qui me gêne. Disons donc que c'est satisfaisant. Pour la philo, c'est pas mal, mais il manque tout de même une perspective actuelle sur le problème (exemple de question intéressante et actuelle : les réels qu'on ne peut définir existent-ils ? - il y en a surement d'autres mais je ne connaît pas vraiment le sujet).

Pour l'exemple, on peut tout simplement parler du périmètre d'un cercle - je pense que c'est ce qu'on peut faire de plus simple pour faire intervenir pi et ça intervient très souvent en mécanique. R 3 avril 2006 à 20:27 (CEST)

C'est vrai, et c'est plus adapté. Pour l'existence des réels, la question est maintenant tranchée, elle n'appartient pas à la philo, mais à la logique. Et la reponse est ... c'est selon. En fait cela dépend de l'acceptation de l'axiome du choix. T'estimes tu capables de réaliser un choix aléatoire? Si oui alors ils existent dans tous le sens du termes, mais tu dois accepter les conséquences, par exemple tu peux découper la boule d'unité 1 en dimension 3, et la recomposer de telle manière à faire 2 boules Paradoxe de Banach-Tarski (évidemment sans dilatation), si tu refuses l'axiome du choix tu peux en prendre un autre qui va par exemple te dire que toute partie des réels est mesurable (c'est un choix qui a ses avantages). Jean-Luc W 3 avril 2006 à 21:05 (CEST)

Question dans l'Oracle

Quelqu'un est-il en mesure de répondre à ceci ? Merci --VARNA 23 avril 2006 à 21:13 (CEST)

Associés à des grandeurs physiques

"tous les nombres associés à des longueurs ou des grandeurs physiques." L'impédance d'un dipole équivalent à un circuit de bobines, résistances et condensateurs, l'amplitude complexe d'une onde électromagnétique, etc... Ne sont pas des grandeurs physiques ? Il faudrait expliciter ce que l'on entend par "grandeur physique". Léna 9 mai 2006

Ta remarque est pertinente, un physicien parlera de grandeur complexe, car grandeur est devenu synonyme de nombre. La difficulté est que nous sommes en début d'article, l'essentiel de nos lecteurs ne savent donc pas réellement ce qu'est un circuit électrique et n'a pas connaissance des travaux de Maxwell. Entrer à ce niveau là de l'article dans ce type de considération ne me semble pas pertinent à cause de cela. Je propose donc de remplacer grandeur par mesure. Cela évite d'entrer dans le débat et au sens strict du terme (cf théorie de Lebesgue) une mesure est définie avant tout pour les nombres positifs (et ensuite généralisée à Rⁿ. Dans ce contexte, nous sommes donc protégés et il existe une interprétation non polémique et exacte de la phrase. Cela te convient-il? Jean-Luc W 10 mai 2006 à 08:58 (CEST)

Cela me parraît être un bon compromis entre rigueur et simplicité. J'approuve donc. Léna 10 mai 2006 à 09:20 (CEST)

présentation de 4

Chez moi le titre du 4 (définition axiomatique ...) apparati mal dans le sommaire.(le symbole de l'ensemble des réels) Est-ce que c'est pareil pour tout le monde.--Sylvain d'Altaïr 12 mai 2006 à 21:28 (CEST)

non il ne devrait pas y avoir de problème, ce sont des images. Oxyde 12 mai 2006 à 23:37 (CEST)

Chez moi il n'apparaît plus. Jean-Luc W 13 mai 2006 à 10:02 (CEST)

Eloge de la notion de « développement décimal infini

Je déplace ici le paragraphe qui avait été introduit pour le reformulé. Il a été introduit sans concertation, il faut discuter de la pertinence d'un tel paragraphe avant de l'introduire. v_atekor 14 décembre 2006 à 15:30 (CET)

Eloge de la notion de « développement décimal infini »

Ce paragraphe n'est pas, évidemment, une polémique contre les développements du paragraphe qui précède. 	 
En mathématiques comme dans la vie quotidienne, certains défaut peuvent devenir des vertus. 	 

* Utiliser un développement décimal fait jouer un rôle particulier à la base  10. 	 
:: En fait la base 10 ne représente aucun intérêt particulier. les bases 2 et 3 notamment 	 
sont très intéressantes. 	 

	* Certains nombres possèdent deux représentations. 	 
	:: Mais on les connait : en base p, ce sont les nombres de la forme ${\frac {a}{p^{k}}}\,$. 	 
	Ils forment un ensemble dénombrable, et donc de mesure nulle. 	 
		 
	Plaçons nous en base 2. 	 
	L'application de $d:\{0,1\}^{\mathbb {N} }\rightarrow [0,1]$ qui associe 	 
	à $(\epsilon _{n})_{n\geq 1}$ le nombre $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\epsilon _{n}}{2^{n}}}$ 	 
	est continue surjective, mais certainement pas bijective. Mais elle est un isomorphisme 	 
	d'espaces mesurés entre $\{0,1\}^{\mathbb {N} }\,$, vu comme espace des épreuves du jeu de pile ou face, et $[0,1]\,$ muni de la mesure de Lebesgue. 	 
		 
	Plaçons nous maintenant en base 3. 	 
	L'application qui au même $(\epsilon _{n})_{n\geq 1}$ associe le nombre 	 
	$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2\epsilon _{n}}{3^{n}}}$ est maintenant injective (mais pas surjective). 	 
	C'est en fait un homéomorphisme sur l'ensemble de Cantor $K_{3}\,$, que nous noterons $h\,$. 	 
	Alors $d\circ h^{-1}\,$ est une application continue de $K_{3}\,$ 
       sur $[0,1]\,$. 	 
	D'autre part, en associant à $(\epsilon _{n})_{n\geq 1}$ 	 
	les deux suites $(\epsilon _{2n})_{n\geq 1}$ et $(\epsilon _{2n-1})_{n\geq 1}$, on obtient 	 
	un homéomorphisme de $\{0,1\}^{\mathbb {N} }\,$ sur $\{0,1\}^{\mathbb {N} }\times \{0,1\}^{\mathbb {N} }\,$. 	 
	En mettant tout cela ensemble, on obtient une surjection continue de $K_{3}\,$ sur $[0,1]\times [0,1]\,$, qui se prolonge (par linéarité par exemple) en une 	 
	surjection continue de $[0,1]\,$ sur $[0,1]\times [0,1]\,$. 	 
		 
	Venons-en à la troisième critique, la plus solide, l'impossibilité d'un algorithme pour 	 
	l'addition et la multiplication dans ce cadre. 	 
	C'est vrai, et c'est la raison pour laquelle on introduit les nombres réels avec 	 
	les coupures ou les suites de Cauchy (chaque méthode a ses avantages et ses inconvénients), jamais  
	avec les développements illimités. 	 
		 
	Et si on faisait les retenues de l'addition et de la multiplication en commençant par le début. 	
	La tout marche très bien, sauf que l'on n'obtient pas $\mathbb {R} \,$, mais, 	 
	pour p premier, les entiers p-adiques !

Bonjour Utilisateur:Jaclaf, j'ai supprimé ta contribution sur Eloge de la notion de « développement décimal infini ». Apparemment tu es nouveau sur Wikipédia, donc, la première chose à faire lorsqu'on modifie autant un article est de prévenir dans la page de discussion. Wikipedia n'est pas non plus un lieu de débat, mais une encyclopédie, s'adressant à tous les internautes. Cet article est noté "de qualité". C'est un sésame qui s'obtient après un très long processus de relecture. Ce point en particulier sur la notion de développement décimal infini a été longuement (très, très longuement) discuté. Il n'était pas question de nier l'intérêt cette notation, mais de faire comprendre pourquoi elle n'est généralement pas utilisée comme définition des nombres réels. Beaucoup de lecteurs s'attendaient à ce que les mathématiques définissent les nombres réels à partir de cette notation, il fallait expliquer pourquoi ce n'est pas le cas. Ca ne remet pas en cause la pertinance de la notation. la meilleure preuve en est l'utilisation quasi systématique qui en est faite. v_atekor 14 décembre 2006 à 15:38 (CET)

a propos de cette suppression

a) il n'y est nullement question dans ce paragraphe supprimé BIEN AU CONTRAIRE de dire qu'il faut introduire les réels par des dev décimaux, mais simplement de dire ce qu'ils peuvent apporter je cite un extrait de la fin on introduit les nombres réels avec les coupures ou les suites de Cauchy (chaque méthode a ses avantages et ses inconvénients), jamais avec les développements illimités.

le titre "eloge de..." a un coté évidemment parodique

... qui n'est pas de mise dans un article de qualité s'adressant au plus grand nombre. Je ne suis pas certains que beaucoup de lecteurs auront été à même de comprendre les développements que tu as fais.

on peu discuter du bien fondé du contenu du paragraphe mais rien ne s'oppose sur le fond à ce qui est dit par ailleurs dans l'article je suis donc surpris de l'argument "Wikipedai n'est pas un lieu de débat ..."

Le paragraphe paraissait être une réponse au paragraphe précédant.

b);je l'avais ajouté dans un article nombre réels- analyse mathématique, et me vois renvoyé pour la discussion vers un article nombre réel Wikipedia junior où bien évidemment je n'aurais pas mis cette contribution

Le problème c'est que le premier chapitre est "les réels dans la vie courante". On a essayé d'être progressif dans l'article, pour ne pas rebuter les lecteurs qui ne connaissent pas la mesure de Lebesque , les coupures de Dedekind, les suites de Cauchyet ou les DL.

c) les themes développés sont ils moins accessibles que par ex la cloture algébrique, mentionnée par ailleurs dans l'article ? j'en doute

Absolument, c'est le même niveau de difficulté. Mais l'article est progressif. Le premier paragraphe est simple, les derniers sont complexes. Le lecteur s'arrête là ou il ne peut plus comprendre.

d) peut on considérer un ajout d'un paragraphe assez bref (25 lignes) bien séparé du reste, comme une mod en profondeur d'un article de cette longueur ainse que le suggère V_atekor

Oui, surtout de sa structure générale. Le problème d'un article de qualité est de le faire évoluer sans entamer sa qualité, en particulier concernant le niveau qu'il faut pour le lire. Mais je pense que d'autres personne viendront en discuter. v_atekor 15 décembre 2006 à 13:54 (CET)

Jaclaf 15 décembre 2006 à 12:56 (CET)

d'accord avec V_atekor sur ce point : l'article a été conçu pour que toute une première partie reste accessible à un maximum de lecteurs. A ce stade, les remarques qui avaient été insérées apparaîtraient comme des "remarques pour initiés". Je ne pense pas que les AdQ soient des sanctuaires, mais il faut un minimum s'imprégner de la trame, si possible des discussions qui ont déjà eu lieu, et considérer les articles connexes qui existent. Ainsi la construction de R proprement dite est évoquée dans Construction des nombres réels Peps 15 décembre 2006 à 15:52 (CET)

Algorithme

C'est quoi cette histoire d'algorithme pour calculer une multiplication ou une addition ? Il me semble qu'il existe des algorithmes pour calculer le produit ou la somme de deux nombres sous forme de développement décimal -je me suis même laissé dire qu'une industrie autour du calcul des décimales de Pi fonctionnait assez bien. Il en existe tout aussi bien avec la représentation sous forme de limite de suite de Cauchy. Evidemment, tous ces algorithmes souffrent du défaut qu'on ne représente pas informatiquement une infinité de données, donc on n'a que des valeurs approchées. Mais c'est, il me semble, aussi vrai avec les suites de Cauchy qu'avec les développements décimaux.

De même,l'argument sur les retenues me semble spécieux. Certes, cela implique d'aller suffisamment loin pour avoir des décimales exactes, mais on les trouve quand même. D'ailleurs, les suites de Cauchy sont beaucoup moins significatives du point de vue de la précision des calculs, puisqu'en les tronquant à un certain rang, on ne sait a priori absolument pas si celle qu'on considère ne va pas partir complètement ailleurs dès le rang suivant. Ce que ne fait pas un développement décimal.

Qu'a voulu dire l'auteur de l'article ?Salle 15 décembre 2006 à 17:35 (CET)

il me semble que tout est dans le "implique des définitions et des démonstrations bien plus complexes" et dans le se fondant uniquement sur la définition de réel comme « nombre à développements décimal infini » : si tu veux que le n ème chiffre soit coorect, il est impossible de dire qu'il suffit de connaître les deux nombres jusqu'au p ème chiffre (parce que connaître le p ème chiffre peut demander une précision 10^(-n) avec n arbitraire : si le résultat est 0,10000000(beaucoup de 0)quelque chose, quand le 1 est il garanti ?).

bref tout cela exige de posséder la notion de série, et pas seulement de formùer des algorithmes sur les suites tronquées de chiffres. Peps 15 décembre 2006 à 18:00 (CET)

Je ne comprends pas bien. Si je dis : la justification précise des algorithmes naturels d'addition et de multiplication sur les développements décimaux nécessite des considérations qui ne sont pas disponibles dans une définition purement formelle des réels comme développements décimaux, est-ce que j'exprime la même idée que l'article ? Si oui, a-t-on une preuve de l'affirmation implicite ne sont pas disponibles ? Ou est-ce juste que nous on ne sait pas faire ?

Sur ce que tu dis, si je me restreins à addition et multiplication de nombres positifs, il me semble que le seul cas où je ne sais pas garantir un certain nombre de décimales justes à partir d'un calcul sur les développements tronqués (c'est-à-dire où ton n est arbitraire, comme tu dis), c'est plutôt celui de 0,999999999... Ca ne paraît pas insurmontable. A moins que je dise des bêtises ?Salle 15 décembre 2006 à 18:57 (CET)

oui pardon, tu as bien fait de rectifier l'exemple. En tout cas on ne sait pas si on est dans un cas ou dans l'autre. Quand on dit algorithme il s'agit d'un procédé fini. Il n'y a pas de calcul général possible de la n-ème troncature à partir de troncatures d'ordre p, et ce pour tout p. Si on veut faire du calcul décimal avec un nombre de chiffres donné (info finie en sortie), l'information nécessaire en entrée est a priori infinie. Tu dis que c'est non insurmontable, ça me semble pourtant une limite de la notion (après on peut gloser sur sa plus ou moins grande importance).

il faut replacer dans le contexte d'une remarque d'Arnaudus, disant en substance, les matheux vous êtes pénibles, yaka dire réel = développement décimal illimité. Il s'agit simplement de montrer que c'est une façon correcte de voir les choses, mais qu'elle ne trivialise pas la difficulté. Après, ce paragraphe a tellement été réécrit... Peps 15 décembre 2006 à 20:34 (CET)

Bon, je tente une réécriture, parce que le passage tel qu'il est n me paraît pas exprimer correctement cette idée. Tu vérifieras que je n'ai pas dit de bêtises.Salle 16 décembre 2006 à 11:16 (CET)

Optime ! J'ai cherché patiemment, mais je ne vois rien à redire. J'espère que ça satisfera tous ceux qui ont réécrit ce passage... en cas de divergence sur une édition, laisser reposer la pâte et faire intervenir un tiers plusieurs mois après, voilà une bonne recette. Peps 16 décembre 2006 à 13:29 (CET)

corps commutatifs

Pourquoi les corps deviennent-ils nécessairement commutatifs dans le § "Approche axiomatique",alors qu'ils ne le sont pas avant (ce qui est quand même l'usage le plus courant il me semble) ? Proz 17 mars 2007 à 18:38 (CET)

Bonne remarque, il n'est pas nécessairement commutatif, la commutativité est une conséquence de l'approche axiomatique. Il n'existe pas de corps archimédien satisfaisant à l'axiome de la borne supérieure non commutatif. Jean-Luc W 17 mars 2007 à 19:37 (CET)

: Il est dommage que l'article ne soit pas cohérent à ce sujet. mais les mathématiciens non plus. Corps initialement commutatif quand il s'agissait de Q, ses extensions, R ou C, Corps non commutatif quand on travaille sur les quaternions. On trouve maintenant plusieurs tendances : ceux qui appelle corps tout corps même non commutatif et ceux qui appellent corps seulement les corps commutatifs et qui appellent les corps non commutatifs d'un néologisme anglicisme algèbre à division. Cette tendance n'est pas encore vraiment passée dans les moeurs (voir Google Corps des quaternion 53900 réponses, algèbre à division des quaternions 881 réponses). Comme l'article s'adresse à tous les lecteurs, la prudence voudrait que l'on précise corps commutatif (quitte à être redondant pour certains) afin d'éviter toute ambiguité. HB 17 mars 2007 à 19:42 (CET)

Je suis d'accord, je vais remettre en cohérence. Pour Jean-Luc W, tu as tout à fait raison, mais pour être honnête, ma remarque portait juste sur le vocabulaire. Proz 17 mars 2007 à 23:32 (CET)

R est un Q-espace vectoriel de dimension infinie non dénombrable

Je pense que cette information mérite de figurer dans l'article mais je ne sais pas où la mettre. HB 5 mai 2007 à 08:38 (CEST)

Choix des palettes

Le choix de Proz me semble a priori évident. La palette alternative est à la fois plus pauvre et procède d'une logique qui m'échappe.

Je ne sais pas ce qu'est un système numérique, privilégier le concept de Tessarine au détriment de nombre premier, par exemple m'apparaît très étonnant. Considérer le Nombre complexe fendu comme fondamental et le nombre pair comme indigne de figurer sur la palette est un choix qui, à mes yeux, demande une sérieuse justification.

La logique de la palette actuellement présente est à mes yeux limpide, même si, comme tout travail de cette nature, il comporte des options un peu polémiques. La palette précédente est pour moi incompréhensible. Jean-Luc W (d) 27 septembre 2008 à 20:09 (CEST)

Je plussoie. C'est comme si je faisais une palette sur des trucs de géométrie et que je néglige Polyèdre mais en n'omettant surtout pas Grand dodécicosidodécaèdre ditrigonal ou Rhombicosidodécaèdre métagyrodiminué. --Michel421 (d) 28 septembre 2008 à 14:29 (CEST)

A remarquer quand même que des physiciens peuvent n'en avoir rien à secouer de nombre pair ou nombre premier alors qu'ils peuvent être intéressés par ces histoires de nombre complexe fendu, de tessarine et de construction de Cayley-Machin, qui ont à voir avec l'espace de Minkowski et donc la théorie de la relativité. De même le nom de "système numérique" cause peut-être plus aux physiciens. --Michel421 (d) 28 septembre 2008 à 16:32 (CEST)

Sourçage à revoir

Les références en fin d'article devraient être intégrés au texte, car en l'état actuel, il n'est pas possible de savoir à laquelle de ces références se rapporte un passage de l'article. Il me semble qu'on peut attendre cela d'un article de qualité.--Daddybinro (d) 18 juin 2009 à 16:31 (CEST)

Le problème est à mon avis plus profond, et un sourçage soigneux demandera une réécriture importante de l'article, qui semble mathématiquement correct, et complet, avec des choses intéressantes (par exemple le paragraphe "Premières remarques sur la notion de « développement décimal infini »", non sourcé mais clair), mais très contestable sur le plan historique. Je cite quelques "points noirs" :

* Les éléments d'Euclide qui seraient contradictoires (in "Problèmes d'incomplétude ", jamais lu ailleurs qu'ici) : ça repose à mon avis sur une confusion entre la théorie des proportions (qu'Euclide ne conçoit pas d'ailleurs encore comme des nombres, c'est je crois un héritage de l'époque islamique), et celle des nombres entiers. La démonstration de l'irrationalité de racine de 2 (est-elle utile ici ?) n'est pas très adroite (elle fait appel inutilement au lemme d'Euclide et c'est par ailleurs déjà un résultat "standard" à l'époque de Platon). Détail, mais il y en à d'autres du même tonneau, l'indication pseudo-historique ("ici nombre signifie fraction ..." ne convient pas car ce n'est pas ainsi que Platon ou Euclide exprime l'irrationalité de racine de 2.

* Toute la période entre Euclide et Newton-Leibniz est ignorée, en particulier le monde islamique, c'est pourtant indispensable pour comprendre ce qui se passe (le passage des proportions aux nombres par ex.), mais il y a aussi Héron, et à l'autre bout Stévin ... Il faudrait probablement également aborder les mathématiques chinoises.

* la construction des réels : Cauchy joue un rôle fondamental pour la formalisation de l'analyse, mais ne s'est pas du tout intéressé à la construction des réels, il faudrait citer Weierstrass, Cantor, Heine, Méray, éventellement Bolzano, insister sur le rôle de l'enseignement ... Tout est à revoir, même l'article de Dedekind cité n'est pas le bon.

Globablement il me semble qu'il y a aussi un problème d'organisation. Il faudrait nettement séparer les aspects mathématiques et historiques; Les mêler pousse à la faute (par exemple l'histoire des fractions ci-dessus). Bref, cet article a le mérite d'exister, mais il ne faut pas s'imaginer qu'un simple sourçage arrangera tout, ni même peut-être un simple "replatrâge". Proz (d) 25 août 2009 à 11:55 (CEST)

Il me semble que l'article a pour but de montrer l'incomplétude des rationnels et les tentatives pour passer d'une notion intuitive à une notion formalisée des réels. Je reconnais qu'il existe peut-être des imprécisions sur certains points (je suis par exemple d'accord qu'Euclide aurait parler de longueurs commensurables plutôt que de nombre rationnels) mais il me semble qu'il ne faudrait pas confondre cet article avec celui sur nombre où les remarques sur la notion de nombre chez Euclide puis chez les mathématiciens de langue arabe serait à développer. Toujours concernant l'article nombre, il ne me semble pas que ce concept soit extrêmement développé dans les neuf chapitres (mathématiques chinoise) où les nombres manipulés restent des quantités (arithmétique, fraction) ou des étendues (longueur, surface, volume). mais c'est une autre histoire.... HB (d) 25 août 2009 à 12:42 (CEST)

Délimiter le périmètre de l'article est important. L'article ne déborde pas sur l'algèbre, sur l'analyse ensuite, ce qui est bien. Je suis en gros d'accord, quoi que je ne sois pas sûr que l'"incomplétude des rationnels" soit tout à fait le bon fil. Archimède manie bien des proportions que nous dirions irrationnelles, mais dont l'existence repose sur la géométrie, en ce sens il n'y a pas complétude, (c'est clairement décrit par Dedekind), c'est plus un problème de théorie incomplète que d'ensemble incomplet me semble-t-il. Avec tout le respect dû aux distingués contributeurs de l'article, je crois que sur le plan historique il s'agit plus que d'imprécisions. Celles-ci sont plutôt le signe d'une vision historique un peu trop alignée sur la présentation mathématique moderne (R comme complété de Q). Pour les mathématiques du monde islamique, je penses bien aux réels, si on est bien d'accord que les proportions d'Eudoxe-Euclide-Archimède préfigurent les réels, je crois par exemple que Khayam pensait à des définitions qui annoncent les fractions continues (absentes également de l'article d'ailleurs). On ne passe pas directement d'Euclide à Newton, même d'un point de vue européo-centré. D'autre part la représentation décimale permet de mieux imaginer les réels. Pour les mathématiques chinoises je ne sais pas trop, je l'ai mentionné car il est question des mathématiques indiennes, et que me semble-t-il il y a des liens entre les deux. Ne penses-tu pas qu'il faudrait mieux séparer aspects mathématiques et historiques ? Es-tu d'accord que l'on ne peut vraiment pas laisser entendre que les éléments d'Euclide seraient contradictoires (l'opinion générale est qu'il manque des axiomes, pas qu'il y en a trop), et que la partie sur la construction des réels est entièrement à revoir ? Que trouves-tu de vraiment réussi, et qu'il ne faudrait pas faire disparaître en cas de remaniement ? Proz (d) 25 août 2009 à 14:36 (CEST)

Il ne me semble pas que les arabes aient tenté de définir les réels. Ils ont travaillé sur la notion de nombre en les détachant de leur contrainte sur les unités, ont introduit des nombres positifs autres que les entiers et les rationnels dans leurs équations. Ils ont aussi travaillé sur les valeurs approchées de nombres, et les ont manipulés dans des calculs trigonométriques (Ahmed Djebbar, une histoire de la science arabe). Les fractions continues datent d'avant les arabes (mathématiques indiennes) je crois.

Maintenant, pour moi la mise en place des réels ne daterait que du 19eme siècle, avec Cantor et Meray (qui sont cités d'ailleurs dans l'article) et Dedekind. Tout ce qui est antérieur est un exposé partial et donc partiel de quelques jalons sur ce problème.

Bourbaki en fait autant dans ses éléments d'histoire des mathématiques, il me semble, passant d'Eudoxe à Cauchy en quelques pages dans lesquelles il explique que jusqu'au moyen âge en terre d'islam comme en Europe, prédomine une vision naive du nombre . Il cite Bombelli qui reprend et formalise la vision d'Eudoxe. il cite Stevin et ses fraction décimales comme précurseur dans la notion de développement illimité, regrette que le calcul sur les séries sans souci de leur convergence ait retardé de deux siècles la mise en place d'une définition rigoureuse.

Il en arrive alors Cauchy et dit "pour lui les nombres réels sont définis par les axiomes des grandeurs et le critère de Cauchy". Il évoque le problème de d'Alembert et celui des valeurs intermédiaires et aboutit aux définitions de Weierstrass (parent pauvre du présent article, je le concède), Dedekind, Meray, Cantor.

Bref, il me semble que c'est la ligne suivie peu ou prou par Jean-Luc (avec cependant des approximations sur la définition grecque des nombres à corriger mais ce genre de subtilité est difficile à mettre en place en quelques lignes). Tu peux en changer si tu le veux mais à condition de trouver une source de la valeur de celle de Bourbaki pour assurer ton développement. Pour la refonte, je ne peux pas trop t'aider car je suis trop impliquée dans cette version de l'article : c'est moi qui l'avait proposé à l'époque comme article de qualité (du temps où je croyais à ce type de label).

Enfin, en ce qui concerne, le terme de "contradiction", s'il te choque change le par un autre comme "paradoxe" si cela te convient mieux mais il reste que l'irrationalité de racine de deux fut, me semble-t-il, un séisme dans les mathématiques pythagoriciennes.

Par ce long discours, je ne veux pas t'empêcher d'opérer la refonte mais seulement te démontrer que cet article avait été pensé et que son articulation avait une certaine légitimité. Quand tu opèreras, garde-donc à l'esprit que ce travail n'est pas un TI mais s'appuie sur des sources. Il est très probablement perfectible et je te laisse l'améliorer , l'enrichir, le préciser et/ou le corriger. Bon courage. HB (d) 25 août 2009 à 17:14 (CEST)

Je comprends bien que ça représente un travail certain, et je suis loin de remettre en cause tout le contenu de l'article (surtout certains aspects historiques et la façon dont ils sont disséminés dans l'article). Je ne crois pas que ce soit un problème de "TI", il faut bien suivre une ligne pour écrire un article de ce genre, mais chacun peut aussi se tromper. sur ce que tu cites je persiste, il est bien question des éléments d'Euclide (3 siècles après Pythagore, dont tout ce qu'on sait est assez spéculatif et repose sur des sources tardives), et tu trouveras dans Bourbaki (et ailleurs) justement que pour Euclide les proportions, et les rapports d'entiers ne sont pas des nombres, et il précise que "ce n'est pas une simple question de terminologie", ce qui contredit quand même directement l'article, et ce qui soutend les histoires de contradiction ou de paradoxe dans les éléments d'Euclide. Le monde islamique : les "éléments d'histoire des mathématiques" ont un point de vue très "pro-axiomatique" et valorisent énormément la théorie d'Eudoxe (certe remarquable, mais compare avec par exemple Dahan-Dalmedico Peiffer au sujet des proportions vues comme des nombres, leur point de vue me semble aujourd'hui plus répandu). De plus la composition est tout de même ancienne, et il y a eu pas mal de travaux sur les mathématiques islamiques depuis. Tu trouves dans Dahan-Dalmedico Peiffer un paragraphe sur le travaux de Khayam sur les proportions (p 102 de mon édition). Le texte de Bourbaki permet de largement corriger le paragraphe sur la construction des réels présentée ici comme l'oeuvre de Cauchy et Dedekind, ce que Bourbaki ne fait pas (voir aussi le texte très clair à ce sujet de l'université de Saint-Andrews). Pour les sources, il y a aussi Dhombres (Nombre, mesure et continu), et d'autres, traités d'histoire des maths, des sources éventuellement à rassembler sur chaque sujet ... Proz (d) 26 août 2009 à 00:13 (CEST)

Je vois que tu croises les sources, il ne peut qu'en sortir du bon. Bon courage alors pour construire une meilleure synthèse. HB (d) 26 août 2009 à 00:23 (CEST)

ps. Une remarque en passant : je n'ai pas nié que la partie sur les mathématiques grecques étaient à améliorer (je me cite " avec cependant des approximations sur la définition grecque des nombres à corriger mais ce genre de subtilité est difficile à mettre en place en quelques lignes"). HB (d) 26 août 2009 à 00:23 (CEST)

Je t'avais bien lu, j'ai peut-être tort d'insister sur ce qui te parait un détail, mais c'est parce que c'est objectif, et il conduit pour moi à une critique plus profonde. Pour préciser : une fois acquis qu'Euclide ne parle pas directement des rationnels, on s'aperçoit aussi qu'il n'est sûrement pas le premier à faire le lien entre grandeurs géométriques et nombres (ce serait plutôt au contraire un "défaut" des éléments), et que s'il le fait c'est par le subtil Livre_V_des_Éléments_d'Euclide (un article que je découvre et qui me semble très correct au passage). Loin d'être contradictoire ou paradoxal, le livre V apporte une solution au problèmes des irrationnels. Ce qui manquerait, c'est l'équivalent d'un axiome de complétude (ou propriété de la borne supérieure). C'est bien ce qui est en cause au XVIIeme (pas le maniement des irrationnels qui est acquis). C'est bien à cela que Dedekind et les autres apportent une solution. Il me semble que ça remet en cause le fil de la section "Aspects historiques", et une partie du contenu, et qu'il n'est pas si simple de seulement améliorer. Faut-il maintenant rentrer dans les subtilités du livre V pour une section en position introductive, alors que ça n'est pas du tout nécessaire pour comprendre le continu aujourd'hui ? Faut-il garder le fil actuel comme une présentation, en gommant toute prétention historique, et créer une section histoire ? Comment, plus généralement, ne pas "jeter le bon grain avec l'ivraie" ? Si j'interviens (il faut du temps, croiser et citer les sources effectivement, éventuellement trouver les "bonnes", celles qui font "autorité" pour des prolongements sur un sujet donné, et je ne suis pas historien), je commencerai a priori par la partie sur la construction des réels, qui est assez indépendante et plutôt facile à corriger. Proz (d) 29 août 2009 à 11:06 (CEST)

Article de qualité

Comment l'article peut-il encore être classifié "de qualité" puisque la bannière :

a été ajoutée au mois de juin ? les critères ne sont-ils pas si stricts Nico92 (d) 19 octobre 2009 à 10:26 (CEST)

La bannière a été rajoutée après l'approbation ADQ, et il n'y a aucune balise référence nécessaire^{[réf. nécessaire]}. Je conclue que c'est plutôt à la bannière d'être supprimée... v_atekor (d) 19 octobre 2009 à 10:53 (CEST)

Je propose plutôt de lire l'article : l'absence de liaison aux sources est une évidence, ce n'est pas une raison pour le rendre illisible en le truffant de refnec. Sinon, ce n'est pas juste une question formelle, le problème n'est pas si simple à régler (lire la section précédente). Proz (d) 19 octobre 2009 à 11:56 (CEST)

Trop peu de références

Une référence pour un AdQ sur un sujet aussi connu est inacceptable. Il n'est même pas BA dans son état.

Il y a une section bibliographique complète pour cet article. Je ne vois pas ce qu'apporte ce genre de contestation alors que les contestataires ont la possibilité de fournir eux-mêmes les éléments qu'ils estiment nécessaire.Claudeh5 (d) 1 janvier 2010 à 10:32 (CET)

Vous demandez à différents contributeurs d'effectuer le travail qui aurait dû être fait voici des lunes, alors qu'ils n'ont pas nécessairement les connaissances suffisantes, ni l'intérêt.

Si j'ai bien compris votre logique, un article bien rédigé et une bibliographie richement pourvue suffisent pour qu'il soit automatiquement AdQ. J'en déduis que l'autorité de l'expert suffit. Je vous recommande la lecture de Le phénomène Wikipédia : une utopie en marche : « Or, en regard de l’extraordinaire vitalité de cette entreprise de construction collective du savoir, l’exigence de signature apparaît de plus en plus comme le résidu fossile du discours d’autorité qui a régné durant des millénaires dans le domaine scientifique et fut un frein à son développement ».

Il me ferait tellement plaisir que Histoire du procédé Haber-Bosch, références en moins, soit dans la situation de Nombre réel. Il me suffirait d'ajouter quelques ouvrages dans la bibliographie, et le tour serait joué. Beaucoup de contributeurs vont me demander de prouver mes affirmations. Les références sont l'un des bons indices de la véracité de ce qui est écrit.

Finalement, un AdQ doit être « argumenté ».... « Argumenté signifie que les faits énoncés sont justifiés par des éléments de preuves précis et des références externes fiables ; » (voir Wikipédia:Articles de qualité).

Cantons-de-l'Est 1 janvier 2010 à 14:49 (CET)

et quand vous avez mis 273 références et notes et donc que vous croyez que vous avez "sourcé" vos connaissances, vous croyez que vous avez rendu un quelconque service au lecteur ? D'une part un tel article en devient illisible, les références à tout bout de champ sont ridicules et parfaitement inutiles. D'autre part il n'y a que les maniaques qui se figurent que chaque lecteur attend qu'on lui "prouve" que telle affirmation se trouve dans tel livre. Je suis sûr que moins d'un lecteur sur mille va aller vérifier une référence. Mais il faut payer le prix de ses manies: Vous vous prenez par la main, et vous allez faire le travail de recherche et de compilation que vous exigez si facilement des autres. Et ensuite vous rédigerez votre article de mathématique comme vous voudrez. Et à ce moment là, nous serons nombreux à pouvoir aller vérifier votre travail et à le critiquer. Mais vous même, combien, sincèrement, avez vous compulsé d'ouvrages parmi les titres qui ont été donnés (et qui sont bien suffisant), dites, Combien ? Aucun ? Et votre incompétence (puisque l'autorité de l'expert ne fait plus foi) est bien suffisante pour effectuer toutes les contestations, c'est ça ? Enfin, pour répondre à votre affirmation "le travail qui aurait dû être fait voici des lunes", nous (je m'associe aux rédacteurs de cet article bien que n'en ayant pas écrit une ligne) ne vous devons rien.Claudeh5 (d) 1 janvier 2010 à 15:29 (CET)

Toujours est-il qu'en l'état, l'article ne correspond pas à la définition d'AdQ adoptée sur Wikipédia. La bonne question à se poser est il me semble : Doit-on, sur le projet maths, consacrer son temps à faire progresser des articles de façon à ce qu'ils soient les plus complets et intéressants possibles, ou bien s'occuper de faire passer/rester des articles AdQ alors que cela nécessite beaucoup de temps et ne servira qu'à moins d'un lecteur sur mille ? S'il y a bien un domaine où la première proposition me paraît la plus pertinente, c'est bien celui-ci. Zandr4^[Moa ?] 1 janvier 2010 à 16:38 (CET)

En ce qui me concerne, la bibliographie correspondant à cet article me parait appropriée. Par contre, il faudrait relier un certain nombres d'affirmations, notamment, les informations de nature historique, toujours délicates, aux sources citées. Pour un article AdQ, cela serait bien. Par contre enlever un label AdQ, sauf cas exceptionnel me parait extrêmement contre-productif. Je n'aime pas du tout la violence que prennent les polémiques actuelles sur ce pb de référencement. Il faut référencer, certes, mais dans la bonne humeur. Bonne année à tous.--Palustris (d) 1 janvier 2010 à 17:06 (CET)

Zandr4 met le doigt sur un point important. C'est ce que je ressens aussi (laissons tomber la course au label AdQ). Je pense que des réactions d'écorché vif sont une perte d'énergie, alors qu'il y a trop de lacunes, d'articles faux écrit avec de la bonne volonté comme seul ingrédient, ou d'articles absents (de manques criants), en maths. Malheureusement je n'ai pas assez de recul pour savoir si c'est vraiment spécifique aux maths (le seul portail où j'intervienne). Je ne perdrai pas mon temps à contester ceci ou cela. Cependant si le jeu des promotions-dégradations (concernant le label AdQ) est conçu comme un outil (carotte et baton) pour gérer l'énergie des contributeurs, la carotte comme le baton pouvant donner un coup de fouet ou doucher l'enthousiasme, suivant le doigté, alors certaines réactions sonnent un signal d'alarme. On risque là de doucher certaines énergies. Un dilemme tel que : "Doit-on, sur le projet maths, consacrer son temps à faire progresser des articles de façon à ce qu'ils soient les plus complets et intéressants possibles, ou bien s'occuper de faire passer/rester des articles AdQ alors que cela nécessite beaucoup de temps et ne servira qu'à moins d'un lecteur sur mille?" ne devrait jamais se poser. Cela semble indiquer que l'existence du label, ou sa gestion actuelle, ont un effet négatif sur la qualité globale des articles du portail Maths. Interprétation trop littérale ou trop rigide des règles ? C'est une question, pas une affirmation . Pour ma part je ne compte pas entrer dans ce genre de course, mais je ne peux m'empécher de compatir avec certains de mes collègues contributeurs du portail Math.--Chassaing (d) 1 janvier 2010 à 17:15 (CET)

Heureusement alors que je me suis désinscrit du projet:mathématiques pour des raisons que Claudeh5 feint de ne pas comprendre. Cela m'évite de me sentir de force inclus dans ce "nous" problématique. Je ne compatis pas, je suis indifférent et depuis longtemps déjà aux questions et interrogations que soulèvent les labels.

Cher Cantons-de-l'Est, les précédents intervenants (hormis Palustris dans une trop vague allusion) ont involontairement omis de te signaler que tu tombes au milieu de discussions en cours sur la question des références, de la raison de leur nécessité pour les uns, leur inutilité pour les autres, mais surtout dans leur finalité. Sans te rendre compte, par ce pas que tu as fait ici, tu as provoqué ta chute dans un puit qui me semble sans fond, dans les ténèbres rougissants de la mésentente wikipédienne. Ne sois donc pas surpris du ton de Claudeh5. Pour résumer, il n'y a pas eu de commencement. El Comandante avec les meilleurs intentions a remis en cause le label attribué à j-ne-sais-plus quel article. Les discussions ont alors repris et ont continué sur projet:sources/Chez Manon puis en parallèle sur projet:mathématiques/Le Thé (voir théorème de la dérivée nulle, où le sujet a de nouveau déraillé sur la question). Il n'y a pas eu de trêve de la nouvelle année ; bienvenue, cher Cantons-de-l'Est, et bonne année. Nefbor Udofix  -  Poukram! 1 janvier 2010 à 20:13 (CET)

Je n'accepte pas que l'on mette ma bonne foi en doute. Je ne comprends pas le propos de Nefbor Udofix sur le Thé, je n'ai rien à feindre. Pour clarifier la question, je n'ai pas parler au nom du projet mathématique (dont je n'ai jamais fait partie officiellement). Quand je dis "nous", en général j'explique ce que j'entends par là. Ici, le nous désigne explicitement les auteurs de l'article Nombre réel et moi.Claudeh5 (d) 2 janvier 2010 à 00:00 (CET)

Je ne souhaite pas qu'on me prête des pensées qui ne sont pas les miennes, il n'y avait rien de plus à comprendre. Désolé d'avoir mis en doute ta bonne foi. Note que parmi les auteurs de l'article figure El Caro. Nefbor Udofix  -  Poukram! 2 janvier 2010 à 12:41 (CET)

@Nefbor Udofix : merci pour les informations (ces mésententes me désolent).

Contestation du label : J'ai vu des améliorations de l'article depuis ma dernière intervention mais, après avoir lu plusieurs commentaires plus bas, je doute que l'article puisse redevenir AdQ avant un bon moment.

Cantons-de-l'Est 11 janvier 2010 à 12:28 (CET)

Nature : mathématiques et philosophie

Cette partie me semble extrêmement risquée. Elle traite du traitement du "continu" chez les Anciens et tente de rattacher la définition actuelle d'une fonction continue à cette intuition ancienne de "sauts". Elle le fait sans citer le moindre nom (Aristote par exemple ?), et sans aucun appui sur la moindre référence. C'est en ce sens qu'elle est dommageable à l'article. Surout on peut se poser la question de savoir dans quelle mesure sa présence est-elle justifiée dans un article portant sur les nombres réels. Tant il serait intéressant voire indispensable de traiter cette question délicate dans des articles sur la continuité, et aussi et surtout dans l'article droite (mathématiques), tant ici on peut légitimement se poser la question.

Le "continu" chez les Grecs est une vague notion géométrique dans laquelle transparaissent les concepts de connexité, d'infiniment grand, et de convergence de suites adjacentes. Cette question ne doit pas être traitée supérficiellement. Doivent être mentionnés la Métaphysique d'Aristote, le Parménide de Platon, les travaux attribués à Archimède, le traité d'Euclide, la critique de Hilbert, le traitement des infinitésimaux qu XVIII, etc. Ne comptez pas sur moi. En attendant, ne peut-on pas transférer cette partie ailleurs ? Nefbor Udofix  -  Poukram! 2 janvier 2010 à 12:41 (CET)

Il y a bien une source indiquée http://plato.stanford.edu/entries/continuity/, exploitée très partiellement, d'où vient d'ailleurs très certainement la citation de Leibniz. Je suis sceptique sur le traitement des paradoxes de Zenon (qui ne vient pas de l'article indiqué). Voir aussi ceci http://www.cndp.fr/RevueCPhil/91/00902911.pdf où la question est abordée (et qu'il faudrait compléter, il n'y a pas unanimité des historiens). Sinon, je crains que l'on ne soit en plein dans le sujet, il s'agit bien du "continu" au sens de la droite réelle. Proz (d) 4 janvier 2010 à 01:31 (CET)

Retour au problème des sources

C'est le comble quand on connait mes positions ; je vais être obligé de défendre les ayatollahs . En deux minutes, je tombe sur trois ou quatre aberrations plus ou moins facilement corrigibles. La première m'a fait bondir, vu mes domaines d'expertise : oser relier l'hypothèse du continu et l'analyse non-standard, si ça c'est pas un TI... Mais bien d'autres points sont contestables ou mal rédigés, à commencer par la question de savoir d'où vient (historiquement) "nombre réel" (et est-ce bien raisonnable de ne pas, au moins, distinguer le premier auteur d'un "Real number" de son traducteur-adaptateur en français ?) Bref, oui, des références s'imposent ... --Dfeldmann (d) 2 janvier 2010 à 22:12 (CET)

L'analyse non standard ? mais c'est juste après avoir parlé des nombres hyperréels qu'on parle de Robinson. Quant à l'hypothèse du continu, elle est tout à la fin de l'article et je ne vois pas d'analyse non standard là:

1. analyse non standard: Dans le développement du calcul infinitésimal, la manipulation des infiniment petits peut alors être abordée différemment. L'ensemble des nombres réels ne pourra satisfaire tous les mathématiciens. Dans les années 1960, Abraham Robinson met en place la notion de nombre hyperréel et permet le développement de l'analyse non standard. Cette nouvelle théorie permet d'exprimer et de démontrer plus simplement certains résultats fondamentaux comme le Théorème de Bolzano-Weierstrass.
2. Hypothèse du continu: §cardinalité

Je ne vois aucun lien entre l'hypothèse du continu et l'analyse non standard. Mais tu vas nous expliquer ce que tu comprends ...Claudeh5 (d) 3 janvier 2010 à 05:29 (CET)

Oh, c'est tout bête, j'ai supprimé la fin de la phrase "Cela signifie qu'il est aussi impossible de démontrer l'existence d'un tel ensemble, que de montrer que cet ensemble n'existe pas, si l'on ne modifie pas la base axiomatique utilisée, ce qui par exemple débouche sur la théorie de l'analyse non standard. " : voir modification de 22h05. Pour le reste, par exemple, tout ce paragraphe est rédigé dans un français approximatif, et contient des erreurs de jugement lourdes et grandiloquentes (comme de penser que l'hypothèse du continu est fondamentale parce que la théorie des ensembles est, je cite, "le fondement de la Mathématique")--Dfeldmann (d) 3 janvier 2010 à 06:39 (CET)

Je n'avais pas remarqué la modification. Au départ, le 9 mai 2008, le paragraphe comporte cette phrase "Cela signifie qu'il est aussi impossible de démontrer l'existence d'un tel ensemble, que de montrer que cet ensemble n'existe pas, si l'on ne modifie pas la base axiomatique utilisée, c’est-à-dire la logique. La modification de la logique devient alors un acte possible, qui par exemple débouche sur la théorie de l'analyse non standard." qui a été résumée le lendemain par Michel421 mais le résumé n'était pas très approprié.Claudeh5 (d) 3 janvier 2010 à 08:08 (CET)

Mais cette version aussi est plus que contestable (l'analyse non standard n'est pas une modification de la logique, et plus généralement, changer les axiomes non plus). Non, j'insiste, il y a beaucoup de choses dans cet article à revoir (c'est le moins qu'on puisse dire) ; en quelques minutes, j'ai fait une dizaine de corrections (typos, virgules, grammaire), mais tout le fond est à reprendre aussi, dès que c'est des opinions non sourcées (on y revient) genre remarques sur Cantor, etc. --Dfeldmann (d) 3 janvier 2010 à 08:20 (CET)

Comment ça, l'analyse non standard ajoute un (ou plusieurs) axiomes, il y a donc par rapport à la logique classique une modification !Claudeh5 (d) 3 janvier 2010 à 08:32 (CET)

"En 1977, Edward Nelson fournit une présentation de l'analyse non standard plus abordable – appelée IST (Internal Set Theory) – fondée sur l'axiomatique de Zermelo-Frankel à laquelle est ajouté un nouveau prédicat : le prédicat standard. Le comportement de ce nouveau prédicat est basé sur 3 axiomes nouveaux :

  1. l'axiome d'idéalisation
  2. l'axiome de standardisation
  3. l'axiome de transfert."Claudeh5 (d) 3 janvier 2010 à 08:35 (CET)

Je pense sincèrement que tu devrais cesser d'ergoter pour le plaisir sur des sujets que tu maîtrises mal (et il est inutile de me rappeler les axiomes de Nelson, vu que j'ai contribué à rédiger cet article). IST est une théorie classique (exprimée dans le calcul des prédicats du premier ordre), et pas, par exemple, un sous produit de la logique intuitionniste, ou une méta-théorie...--Dfeldmann (d) 3 janvier 2010 à 12:21 (CET)

C'est vrai que je trouve qu'on ne devrait pas mélanger comme ça l'analyse, l'analyse non standard, les questions de limites, les fondements de la théorie des ensembles, l'hypothèse du continu,... la philosophie et particulièrement les conceptions anciennes sur les nombres qu'on ne comprend plus du tout mais n'ont pas grands sens au niveau de la construction des réels.Claudeh5 (d) 3 janvier 2010 à 08:18 (CET)

Il me semble que Dfeldmann a (peut-être) interprété un peu au pied de la lettre une phrase assez vague. Il n'y a clairement aucun rapport entre hypothèse du continu et analyse non standard. Il y a tout de même un rapport, certainement pas de cause à effet, qui est que dans les deux cas, le langage et la logique (classique évidemment) jouent un rôle important (définissabilité etc., méthodes issues de la théorie des modèles pour l'analyse de Robinson). Les méthodes sont quand même très différentes. Et de toute façon ce genre d'opinion non étayée et non sourcée n'a aucune utilité, et je ne conteste pas du tout sa suppression.

Pour l'hypothèse du continu : ce que cite Dfeldmann ne va pas, mais on peut dire qu'elle a un rôle fondamental dans le développement de la théorie des ensembles (ça doit se sourcer dans les textes historiques de Kanamori par ex.).

L'article n'est pas sur la construction des réels, il doit effectivement parler (sans les mélanger tout à fait d'accord) des problèmes de fondements (très liées au fondements de l'analyse), des conceptions anciennes se rapportant aux nombres (plus compliquées que les modernes effectivement d'où le péché originel de l'article qui commence par un gros contresens sur les éléments d'Euclide, j'avais émis quelques critiques dans la section #Sourçage à revoir).

Pour avancer est-ce que l'on pourrait, maintenant qu'au vu des opinions critiques exprimées, il semble clair que cet article est à réécrire en profondeur, et que ça ne va pas se faire rapidement :

1. Remercier Cantons de l'Est de bien vouloir s'occuper de cette délabellisation (le label est plus une gêne qu'autre chose) ;

2. Réfléchir à un plan qui déjà devrait séparer nettement l'histoire et les maths. Il me semble qu'il faut démarrer sur les maths, que celle-ci doit d'abord s'appuyer sur l'intuition de la droite réelle, présenter les problèmes, en venir à l'axiomatisation, puis, sans détailler puisqu'il y a un article dédié, à la construction (coupures et suites de Cauchy). Le fil directeur actuel est la complétion des rationnels, ce qui donne une ossature à l'article, mais historiquement ne fonctionne pas. Sur le plan mathématique est-ce que vous pensez que c'est le bon fil ? Est-ce que c'est bien ainsi que la question se pose au départ ? Proz (d) 3 janvier 2010 à 12:50 (CET)

Demande de précision.

Bon, soit c'est de la mauvaise foi, soit c'est de la maladresse et les demandes de précision ne sont pas placées au bon endroit.

• n'importe quelle^{[Lesquelles ?]} est absurde. La réponse est placée juste avant.
• J'ai changé Deux sont particulièrement étudiés^[Qui ?] en Deux sont particulièrement étudiés par les mathématiciens pour satisfaire le besoin manifeste de voir énoncer des évidences, et voilà qu'apparaît Deux sont particulièrement étudiés par les mathématiciens^[Qui ?]. Une liste de quelques milliers suffira-t-elle, ou suffit-il de préciser que l'on parle des mathématiciens qui travaillent sur ce sujet ?
• J'ai changé un algorithme effectif demande de ne traiter qu'un nombre fini de décimales^{[réf. nécessaire]} en un algorithme effectif demande de ne traiter qu'un nombre fini de décimales (puisqu'il ne peut effecteur qu'un nombre fini d'opérations), l'on demande une référence ? un algorithme effectif demande de ne traiter qu'un nombre fini de décimales (puisqu'il ne peut effecteur qu'un nombre fini d'opérations)^{[réf. nécessaire]}. Jusqu'à preuve du contraire, les ordinateurs ont une puissance de calcul limitée. Il me semble que cela est universellement accepté.

L'article a besoin de références, c'est bien de le signaler, mieux de les ajouter ou de les demander là où c'est nécessaire. Zandr4^[Moa ?] 3 janvier 2010 à 11:14 (CET)

Bon, j'ai eu la confirmation du fait que c'était effectivement de la mauvaise foi. Nefbor Udofix fait une modification utile et marque comme commentaire Revert de Zandr4 VANDALISME alors qu'il a supprimé le vandalisme pour lequel je l'ai rv. Je prends ça comme des remords. Zandr4^[Moa ?] 3 janvier 2010 à 12:00 (CET)

conflit d'édit

Réponse tardive. Il n'est pas toujours évident de suivre toutes les discussions en temps réel. Vous (Claudeh5 et Zandr4) supprimez des demandes de précision sans commentaire et sans apporter les précisions demandées. Pire, vous supprimez des informations, des références, et des corrections de références, sans laisser le moindre commentaire ! Arrêtez donc de vandaliser cet article, pour reprendre le vocabulaire que vous utilisez couramment à propos d'autrui. Vocabulaire évidemment inadapté, mais vous lancez volontiers aux autres les accusations que vous ne voudriez pas qu'on vous fasse.

Deux sont particulièrement étudiés par les mathématiciens -- autant ne rien ajouter ! Vous affirmez que les nombres rationnels et les nombres algébriques sont plus particulièrement "étudiés" que les entiers ou les nombres décimaux. Déjà le verbe "étudier" me fait réagir. En tant que mathématicien, j'ai l'impression que les entiers sont plus intéressants que les rationnels. Disposant d'un nombre fini de paramètres rationnels, je peux être tenté de me ramener à des paramètres entiers, pas vous ? En affirmant par les mathématiciens, vous prêtez à autrui des pensées qui ne sont pas nécessairement les leurs, en particulier, celle selon laquelle les entiers sont moins intéressants que les rationnels. Un mathématicien de renom peut éventuellemment s'arroger le droit de le faire sous sa propre plume, pas vous en tant que contributeurs anonymes. Dans ce cas, citez vos références.

Sur l'algorithme : L'informatique n'est pas mon fort. Il me semblait qu'il existait, pour certains nombres irrationnels (en particulier pour pi), des algortihmes qui permettent de déterminer n'importe quel chiffre dans certains développements sans avoir à connaitre les chiffres précédents. Je pensais à l'algorithlme BBP, mais lmes connaissances en la matière sont limitées.

Enfin, je vous prie de rétablir toutes les demandes de précision que vous (Claudeh5 et Zandr4) avez supprimez. [1] La lecture des références historiques ne suffisent pas ici. Il faut appuyer la citation d'une référence récente qui cite l'ouvrage d'origine. Ou alors, on peut lister tous les livres de mathématiques des XVIIe, XVIIIe et XIXes icèles dans lequels l'adjectif réel apparait. Il faut qu'un document d'histoire des sciences extérieur à WP ait attribué à telle apparition de réel dans une source historique l'orginie de l'expression nombre réel. C'est le cas de la référence de Descartes. Est-ce le cas des livres cités par Claudeh5 ? Comprenez-vous au moins la question ? Et pourquoi ici dans ce contexte, cette question prend tout son sens ?

Nefbor Udofix  -  Poukram! 3 janvier 2010 à 12:42 (CET)

Je n'ai supprimé aucune demande pertinente, j'ai apporté des précisions là où elles étaient utiles et où je pouvais. Je ne pense pas qu'on me reproche de considérer dans la vie courante comme une expression au sens connu, ni de penser que tout le monde est d'accord avec le fait que les économistes ne manipulent pas des montants avec un développement décimal infini.

Si j'ai supprimé la dernière insertion de référence et d'informations, c'est parce qu'une référence à Claudeh5 n'a rien à faire dans l'article. Ce n'est pas à moi de retoucher votre modif pour la rendre présentable.

Pour le BBP, ok pour ce que vous dites, mais le problème reste le même : l'algorithme, bien qu'évitant le calcul des premières décimales, ne peut effectuer qu'un nombre fini d'opérations.

Deux sont particulièrement étudiés par les mathématiciens -- autant ne rien ajouter ! Mais je suis bien d'accord ! Par contre, justifier que ces domaines là sont particulièrement étudiés est nécéssaire.

Zandr4^[Moa ?] 3 janvier 2010 à 13:03 (CET)

Non, je ne comprends pas la question ! Mais peut-être non plus je ne sais pas lire le français. Vous avez le lien et il est manifeste que lorsque l'on lit page 469 "3° j'ôte 27000 de 2500. Il reste -24500 donc la racine quarrée est imaginaire savoir ${\sqrt {-24500}}$." il s'agit bien de nombres imaginaires pures. Quand par la suite l'auteur parle de nombre réel puis de nombre mixte, chacun comprend fort bien ce qu'il veut dire et il n'est pas nécessaire de rechercher dans une source "historique" improbable une référence à ce texte d'une clarté limpide: " si l'on multiplie nombre réel par nombre imaginaire le produit est imaginaire; et le signe extérieur suit la règle ordinaire" (Nouveaux elements d'arithmetique et d'algebre: ou, Introduction aux ... Par Thomas Fantet de Lagny, 1697). Quant aux Nouveaux elemens des mathematiques par Jean Prestet,Nicolás Malebranche (1687), celui dit page 353 "Et c'est apparemment pour cette raison que Monsieur Descartes nomme réelles aussi bien les racines fausses que les racines vraies, & qu'il a voulu les distinguer des imaginaires, qui supposent un quarré négatif". La sourcite est une grave maladie pour laquelle on ne connaît pas encore de traitement.Claudeh5 (d) 3 janvier 2010 à 16:32 (CET)

Effectivement, tu ne sembles pas comprendre le sens de la question. Dans le passage que tu cites, Malebranche et Prestet font explicitement référence aux travaux de Descartes, certainement au livre La géométrie que j'avais cité et qui était mentionné sur le site Earliest known uses etc. Citer Malebranche prouve que le livre de Descartes a introduit l'expression "nombre réel" ou du moins a popularisé l'usage de l'adjectif réel.

Nous sommes d'accord.Claudeh5 (d) 3 janvier 2010 à 18:34 (CET)

Concernant Fastet de Lagny, tu ne cites pas complètement le passage (faute de place évidemment). Il continue en exposant la règle des signes pour les nombres imaginaires purs (en écriture moderne $i\times i=-1$ et $(-i)\times (-i)=-1$). Dans la lignée des travaux de Bombelli, il considère quatre signes +réel, -réel, +- et -- (+1, -1, +i et -i). Ne dit-il pas "il y a deux nombres égaux avec des signes contraires joints à des nombres réels" ?

Je répète ce que je t'ai dit ailleurs (sur la page du Thé), et ce que d'autres t'ont dit à maintes reprises, et ce que d'autres te diront encore et toujours jusqu'à essoufflement : il est extrêmement risqué de s'appuyer sur la seule lecture personnelle d'un texte d'origine datant du XVIe, XVII, XVIIIe voire même du XIXe. Le texte doit être contextualisé, les influences doivent être analysées, et surtout ici l'impact qu'a eu le texte. La question est de savoir à qui on doit l'adjectif "réel" pour désigner un nombre, une variable ou une racine (en opposition à l'adjectif imaginaire). Et non pas de savoir où cette expression a été utilisée et réutilisée. Si tu le souhaites, tu peux lister toutes les occurences de l'adjectif réel, je ne vois pas quelle preuve cela apporterait ici. La seule chose que tu peux affirmer, c'est que les trois auteurs que tu as cités ont effectivement utilisé l'adjectif réel dans l'usage qu'on lui connait aujourd'hui, mais tu ne peux attribuer à aucun le mérite d'avoir enterriné cet usage, ou du moins d'avoir écrit un texte ayant eu suffisamment d'impact et dans lequel l'occurence de réel était suffisamment visible pour avoir incité les générations futures, voire ses contemporains, à en faire autant. Par ailleurs, qui te prouve à la seule lecture du texte d'origine que, à l'époque, l'expression n'était pas déjà couramment utilisée ? Comprends-tu mieux le sens de mes questions ? Nefbor Udofix  -  Poukram! 3 janvier 2010 à 18:16 (CET)

On est bien d'accord que cela ne prouve nullement qu'il n'y a pas eu un usage de ces termes avant cette date (1687 ou 1697) mais cela permet déjà d'éliminer la prétendue origine de Cantor comme précédemment. Et de dire cependant que l'usage de l'adjectif réel, attribué à Descartes était également connu de mathématicien de second ordre. Et que son usage depuis 1637 était connu avant même le 18e siècle, en langue française avec des fluctuations sur le sens qui n'était pas complètement fixé. Il ne semble pas avoir été usité en anglais par contre: on n'en trouve des mentions qu'après 1750 (real number). Et tu as lu le texte comme moi et compris de la même manière. Par contre on n'en trouve pas mention avant (mais cela peut fort bien être faux), soit donc que l'adjectif n'existait pas avant 1637 dans ce sens soit que l'adjectif était fort rare dans ce sens, au point que l'usage initial a pu être attribué à Descartes sans contestation. Claudeh5 (d) 3 janvier 2010 à 18:34 (CET)

Informatique

Le peu que je sais à propos de représentation informatique des réels :

• Couramment les réels machines ont une précision fixe, avec des procédure de calculs optimisées pour une taille donnée, mais il existe des bibliothèques qui permettent de calculer en précision arbitraire, c'est-à-dire limitée uniquement par le temps et l'espace disponible (gmp par exemple). Il est tout à fait possible d'avoir un calcul qui occupe un espace fini, et dont la précision n'est bornée que par le temps, ce que doit permettre la formule BPP (il faudrait regarder), mais de toute façon ça existe.
• Il est tout à fait possible de représenter des réels irrationnels calculables en machine, par le procédé qui les engendre. On peut par exemple stocker un algorithme de calcul de pi, qui est un objet fini, plutôt que pi lui-même. Il existe des programmes (je ne sais pas s'ils ont dépassés le stade de la recherche) qui manipulent les réels comme des fractions continues, on est bien au delà des décimaux.
• Les processeurs sont optimisés pour calculer sur les nombre d'une taille donnée (64 bits par ex.), mais pour aller au delà il n'est sûrement pas nécessaire d'avoir un "processeur dédié aux calculs symboliques" et je ne sais même pas si ça existe, et puis est-ce bien de calcul symbolique qu'il s'agit ?

Il me semble donc que le paragraphe "considérations technologiques" mériterait largement d'être précisé, on peut déjà supprimer le processeur dédié au calcul symbolique et des sources ça ne ferait pas de mal. Proz (d) 3 janvier 2010 à 17:44 (CET)

absurdité

Comment peut-on avoir écrit un paragraphe aussi absurde que celui qui se cache dans la boite "pourquoi R est-il indispensable pour l'analyse ?" ? C'est un tissu d'âneries.Claudeh5 (d) 4 janvier 2010 à 03:24 (CET) Cet article affirme depuis le 16 décembre 2005 qu'une fonction définie sur les rationnels est toujours continue (en substance)! Ce qui ne va pas dans cet article ce n'est pas une absence de sources ni que les références soient mauvaises, c'est le texte même de l'article !Claudeh5 (d) 4 janvier 2010 à 03:48 (CET)

Tu es sûr? Cette fonction (celle de la boîte) ne serait pas continue sur Q ? Peux-tu nous en fournir une démonstration (s'appuyant sur les définitions de la continuité, par exemple) ?--Dfeldmann (d) 4 janvier 2010 à 07:06 (CET)

Je t'invite à étudier la suite $x_{n+1}=x_{n}+{\frac {2(2-x_{n}^{2})}{3x_{n}}}$ avec $x_{0}=1$. Tu vérifieras

1. que la suite est rationnelle
2. que la suite est convergente vers ${\sqrt {2}}$.
3. que la suite est telle que les termes de rangs pairs sont plus petits que ${\sqrt {2}}$.
4. que les termes de rangs impairs sont plus grand que ${\sqrt {2}}$.
5. que sur la distance entre un terme et la limite on a

${\frac {x_{n+1}-{\sqrt {2}}}{x_{n}-{\sqrt {2}}}}\to -{\frac {1}{3}}$.

1. que $|f(x_{n+1})-f(x_{n})|$ ne tend pas vers 0 quand n tend vers l'infini, ce qui montre que la fonction n'est pas continue sur Q.Claudeh5 (d) 4 janvier 2010 à 09:37 (CET)

Curieux... Je n'avais pas besoin de ça pour comprendre que f ne saurait être prolongeable par continuité à sqrt(2). Et alors? En quoi ces savants calculs montrent-ils que f n'est pas continue sur Q? Peux-tu me (nous) rappeler la définition de la continuité, laquelle n'est certainement pas "si $(u_{n})$ est une suite de Cauchy, $f(u_{n})$ l'est également" ; ça, c'est une conséquence de la définition dans un espace complet , ce que Q n'est pas ... --Dfeldmann (d) 4 janvier 2010 à 10:14 (CET)

Tu as raison je devais être déjà à moitié endormi hier soir quand j'ai écrit cela. Et ce matin, je ne suis guère en forme visiblement. Claudeh5 (d) 4 janvier 2010 à 11:00 (CET)

sens de l'adjectif réel chez Descartes

La question est la suivante: qui a utilisé le premier (et en a fixé l'usage par la suite) de l'adjectif réel par opposition à imaginaire ou complexe pour les nombres ? Une première piste est fournie par certains sites qui indiquent que c'est Descartes dans sa géométrie qui l'a utilisé dans ce sens.

s'agit-il de ceci ? là. Je vois écrit que le produit de deux quantités conjuguées est une fausse réelle (négatif). Si c'est la seule occurrence du mot réel chez Descartes, cela n'est pas très significatif. Ce mot réel désigne 'philosophiquement' ce qui est matériel (en géométrie) contrairement à ce qui est imaginaire... L'imagination chez Descartes ne fait pas partie des qualités intrinsèques de l'âme ; c'est d'ailleurs un débat avec Gassendi (et Hobbes) qui réclame le droit à l'imagination ! Je crois qu'imaginaire dans son esprit était donc non seulement péjoratif mais très fort, c'est à dire qu'il ne leur accordait pas d'existence (un peu comme les fantasmes de Hobbes). Par conséquent le reste était réel (existait vraiment)... Ce qui est amusant, si je lis bien c'est fausse réelle... Falsus réalis fit = -4.. (linfini est l'égalité) Bon, maintenant, il y a peut-être d'autres occurrences ?

Jean ^{[de Parthenay]} 5 janvier 2010 à 09:05 (CET)

Non c'est peut-être chez Descartes mais en français, pas en latin ! La géométrie a bien été publiée en français en 1637. Mais la page 3xx dans un livre qui n'en comporte que 160 en 1705, et 110 en 1880, ça me laisse perplexe...Claudeh5 (d) 5 janvier 2010 à 10:16 (CET)

Première occurrence connue: page 117 de l'édition de 1705: http://books.google.fr/books?printsec=frontcover&dq=intitle%3Ala%20intitle%3Ag%C3%A9om%C3%A9trie%20inauthor%3ADescartes&lr=&as_drrb_is=b&as_minm_is=1&as_miny_is=1630&as_maxm_is=1&as_maxy_is=1800&ei=48xCS_y1EoiUyAT8tM3pCA&cd=3&id=3BAOAAAAQAAJ&as_brr=0&output=text&pg=PA1.Claudeh5 (d) 5 janvier 2010 à 10:30 (CET)

Devancé par Claudeh5. Attends ma réponse ! Nefbor Udofix  -  Poukram! 5 janvier 2010 à 10:51 (CET)

"au reste tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas toujours réelles, mais quelquefois seulement imaginaires; c'est à dire qu'on peut bien toujours en imaginer autant que j'ay dit en chaque équation; mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité qui corresponde à celles qu'on imagine: comme encore qu'on puisse imaginer trois en celle-ci x^3-6xx+13x-10 = , il n'y en a toutefois qu'une réelle qui est 2 & pour les deux autres, quoy qu'on les augmente ou diminuë, ou multiplie en la façon que je viens d'expliquer, on ne fçauroit les rendre autres qu'imaginaires."

le passage laisse dubitatif sur le sens qu'il faut donner à réel dans ce cas. Il semble utiliser le terme imaginaire seulement comme un artifice de calcul basé sur le nombre maximum de racines (et qu'ainsi on peut en imaginer d'autres pour compléter) mais pas au sens d'une quantité complexe.

"page 145, "ce qui feroit cause que les deux vrayes racines de cette équation ne seroient qu'imaginaires, & qu'il n'y en auroit de réelles que la fausse, qui suivant la règle de Cardan, seroit ..."

on tire de cela qu'il me semble très présomptueux de comprendre réel et imaginaire chez Descartes en 1637 sous le sens auquel on les emploie en mathématiques aujourd'hui.

On remarque ensuite qu'il utilise le terme réel d'une manière tellement naturelle qu'il ne semble pas qu'il s'agisse d'un nouveau sens dans son esprit, ce qui renforce encore le fait que ce sens n'est probablement pas celui d'aujourd'hui. Au fait, je n'ai pas vu non plus de "variables réelles"... Claudeh5 (d) 5 janvier 2010 à 11:27 (CET)

Proposition de ménage dans axiomatique et construction

Mes quelques retouches (peu conflictuelles je pense) de ces jours-ci m'ont fait réfléchir à une harmonisation plus globale des lieux où on pourrait (dé-)placer les preuves, mais j'attends votre consentement (ou vos protestations). L'idée serait (s'agissant uniquement des preuves, quitte à mettre des liens dans les autres pages vers ces pages-là) de délester les technicités vers construction des nombres réels (et les architecturer) en :

1. laissant dans théorème de la limite monotone que ça résulte de borne sup
2. laissant dans théorème des suites adjacentes que ça résulte de limite monotone
3. créant dans construction des nombres réels une section sur l'équivalence entre diverses caractérisations, et y déplacer, en la coupant en deux, une preuve qui se trouve déjà (cachée) dans cette page-là : archimédien complet implique suites adjacentes et suites adjacentes implique borne sup
4. supprimant de "théorème des suites adjacentes" cette même preuve (que suites adjacentes implique borne sup) (en fait : fusionner dans "construction des nombres réels" ces 2 preuves, identiques à la rédaction près)
5. déplaçant d'ici ("nombre réel") vers "construction des nombres réels" les preuves que borne sup implique archimédien complet.

A priori "construction des nombres réels" veut seulement construire, mais ce serait le bon endroit pour prouver l'équivalence, puisque Dedekind construit borne sup et Cauchy construit archimédien complet. Anne Bauval (d) 26 mars 2010 à 01:05 (CET)

Ce qui signifie moins de boites déroulantes ici ? Je suis plutôt pour e principe (même si je n'ai pas une vision d'ensemble de tous ces articles), les preuves deviennent plus accessibles, et on évite des doublons si je comprends bien. La dernière proposition se tient tout à fait. Proz (d) 26 mars 2010 à 01:37 (CET)

Dans le même esprit, je viens de déplacer une boîte déroulante vers Ordre dense et de mettre dans divers articles des liens vers elle. C'est là-bas qu'est le mieux explicité le fait que densité pour l'ordre implique densité topologique. Anne (discuter) 9 septembre 2013 à 21:14 (CEST)

Mathématiques grecques

J'ai fait le ménage dans la section sur l'irrationnalité de la racine carrée de 2, cf. ci-dessus #Sourçage à revoir, sans trop de souci de cohérence avec le reste. Mais il faudrait parler d'Eudoxe, du livre V des Éléments d'Euclide,de l' axiome d'Archimède, et la source que j'ai ajoutée ne peut pas suffire, y compris sur les incommensurables (d'autres points de vue existent).

Faut-il conserver une preuve d'irrationalité en boite déroulante (sachant qu'elle est en substance dans racine carrée de 2) ? Proz (d) 26 mars 2010 à 02:48 (CET)

J'y connais rien en histoire des maths, je laisse faire les spécialistes. Mais peut-être que tous les détails sont déjà (ou sinon : devraient être placés) dans l'article dédié.

La preuve dans la boîte est plus directement accessible et bien mieux rédigée (je trouve) que son analogue (longuet) dans l'article dédié, donc je vote pour la garder (à moins de la transporter la-bas ...).

Dans la légende de la diagonale bleue le l ressemble à un 1, et devrait de toutes façons s'appeler plutôt a.

Anne Bauval (d) 28 mars 2010 à 12:11 (CEST)

J'avais modifié le l du texte en a pour cette raison, sans faire attention au dessin. Je reviens en arrière, au moins provisoirement. Si c'est utile (après tout il y a l'italique), ce genre de modif. sur le dessin peut se faire avec un simple éditeur texte.

Désolé mais je ne suis pas sûr de comprendre de quel article dédié il s'agit.

Je m'intéresse à l'aspect histoire sans être spécialiste. Il parait légitime (si on traite l'histoire des nombres réels bien-sûr) de parler de la découverte des irrationnels, des éléments d'Euclide (livre V) et d'Eudoxe dans un article sur les réels. Par ex. au XIXe Dedekind y fait explicitement référence pour sa construction ; certains (Lipschitz) ne comprennent pas tout de suite ce qu'il apporte de nouveau (qui est la propriété de la borne sup., aucun équivalent dans Eudoxe/Euclide). Peut-être que ce qui existe rentre trop dans certains détails mais ce n'est pas suffisant non plus. Maintenant ça n'a probablement plus grand chose à faire après mes corrections en début d'article. N'hésite pas à reprendre plus en profondeur l'article si tu as une idée de plan, il me semble de toute façon préférable de séparer traitements mathématique et historique. Proz (d) 28 mars 2010 à 22:45 (CEST)

Je suis nulle aussi en bureautique, mais je trouve que ce serait vraiment plus clair de mettre a partout

Je parlais d'"article dédié" à propos de racine de 2, je n'avais pas compris que tes propos sur les sources dépassaient ce cadre

Non, aucun plan à proposer (suis plus dentelière qu'architecte), juste une impression très partielle et superficielle : la section "Nature" casse la dynamique entre ce qui la précède et ce qui la suit.

Anne Bauval (d) 28 mars 2010 à 23:07 (CEST)

Je l'ai fait (je ne t'invitais pas t'en charger, juste pour dire que c'était facile, ceci dit ce n'est pas de la bureautique, un fichier svg est un fichier xml, du texte genre html, ici le texte de l'image apparaissait tel quel, il suffisait de remplacer l par d). Pour la section nature : tu as raison, mais que faire ? La sous-section histoire de l'analyse est assez hasardeuse, il y a probablement confusion entre le continu (au sens la droite réelle) et la continuité. Je n'ai aucune idée sur ce qui est dit sur le champs tensoriel : est-ce correct ? pertinent ? Une solution serait de la déplacer ici, pour conserver la source en particulier, et se souvenir qu'il faut quelque chose sur le sujet, mais c'est peut-être un peu radical ? Sinon c'est à reprendre dans un paragraphe histoire. Proz (d) 29 mars 2010 à 00:42 (CEST)

1ère phrase

J'interviens ici car je ne trouve pas mieux que En mathématiques, un nombre réel est un objet qui généralise la notion de longueur et d'autres grandeurs physiques., qui pourtant me semble bancal : un objet, certes (comme tout en maths), mais qui généralise pas vraiment. (Qui abstrait ? qui ... ? ) Anne Bauval (d) 24 juin 2010 à 14:43 (CEST)

oui, je vais essayer d'améliorer ; que penses-tu de ..." est un objet construit à partir de ... (à préciser)... qui modélise la notion de ..." ?--Dfeldmann (d) 24 juin 2010 à 16:08 (CEST)

Dans la vie courante

Je bazarderais bien toute cette partie. Y a-t-il quelque chose à en garder d'après vous ? Ambigraphe, le 16 octobre 2011 à 20:41 (CEST)

Blanc-seing pour bazardage. ---- El Caro ^bla 16 octobre 2011 à 21:17 (CEST)

WP ne serait-il qu'un éternel recommencement ? Au moment de la proposition en article de qualité, les discussions furent houleuses, chacun voulut y mettre son idée de l'article idéal et cette section fut ajoutée[2]. Moi j'avais fini par abandonner l'article aux mains de ceux qui savaient... sans être pour ma part convaincue de l'utilité des sections Nombre réel#Nature : mathématiques et philosophie et Nombre réel#Dans la vie courante. Il est maintenant question d'en supprimer une... pourquoi pas, jusqu'à ce que quelqu'un d'autre ne pense nécessaire de l'ajouter à nouveau. Je crains que finaliser un tel article aux développements possibles innombrables ne soit aussi difficle que de cerner le contenu de l'article Dieu (toute proportion gardée). Bref, fais ce que voudras. HB (d) 16 octobre 2011 à 21:34 (CEST)

D'abord, j'ai exagéré un poil. Les différentes strates dans l'ensemble des réels doivent être replacées quelque part et la pertinence des nombres réels en physique doit effectivement se discuter. Enfin, le développement décimal mérite bien sûr une partie, mais certainement pas en « vie courante ». Mais j'essaierai de m'appuyer sur des sources plutôt que de conserver les réflexions de bistro qu'on lit pour l'instant dans l'article. Quant à la partie philosophique, elle sera aussi à remettre sur l'ouvrage mais je serai peut-être moins compétent. Si Epsilon0 passe par là, il aura peut-être des idées. Merci à vous, Ambigraphe, le 16 octobre 2011 à 23:12 (CEST)

Je suis assez d'accord pour éliminer les "réflexions de bistro". C'est une bonne idée de s'attaquer à tout ça. En s'appuyant sur des sources, on évite justement l'"éternel recommencement". Au passage la partie "historique" de l'introduction sur l'emploi du mot réel, assez mineure, me semble mal placée et surtout fondée uniquement sur des sources primaires (autant dire, sur ce genre de sujet, que ça n'inspire aucune confiance, j'aimerai bien savoir d'où ça sort). Proz (d) 17 octobre 2011 à 02:20 (CEST)

@HB : je crois que nous sommes tous d'accord : bazarder cette section mal fichue, et la remplacer par une autre sur l'importance des nombres réels en maths et en science. Mais sourcée, celle-là. ---- El Caro ^bla 17 octobre 2011 à 08:40 (CEST)

Mesure de précision infinie et références nécessaires

Bonjour, je vois la demande de références sur la possibilité d'une mesure de précision infinie. En cherchant à fouiller un peu la question on tombe rapidement sur un dilemme qui ressemble vaguement ... au problème de la construction de R justement! En fait, on peut tout à fait mesurer exactement des éléments physiques qui ont leurs valeurs ... dans N, Z ou Q. Pas de soucis pour compter exactement le nombre de moutons dans un près. Ça se complique lorsque la valeur appartient à R mais pas à Q. On a la plupart du temps une représentation décimale ou binaire du résultat qui ne peut être infinie pour des problèmes de stockage du résultat, et que plus fondamentalement pour certaines mesures le principe d'incertitude limite théoriquement la capacité de mesure. Si quelqu'un expliciter tout ça? v_atekor (d) 17 octobre 2011 à 09:40 (CEST)

Oui, c'est bien ce que je disais, y'a beaucoup à faire, et c'est pas une discussion "de café du commerce" qui va le faire avancer. Déjà, compter n'est pas mesurer, et N n'est pas "forcément" inclus dans R (inversement, la question de savoir si la diagonale d'un carré de côté 1 (mètre) vaut (racine de 2) mêtre(s) est-elle mathématique, physique, expérimentale ? Est-ce le "vrai" nombre sqrt(2) ? (et est-ce un "vrai" carré?) Qu'est-ce que la connaissance de ses décimales vient faire là?). Ensuite, le principe d'incertitude, c'est pas ça du tout. Et y'a énormément de choses à dire sur, par exemple, la valeur de la vitesse de la lumière. Bref, c'est un sujet difficile, mal sourcé (voir mal sourçable), non évacuable en deux lignes... Si j'ai réagi, c'eest que j'ai déjà des réticences à mettre ce paragraphe là (voir section ci-dessus), mais que c'est un sujet sur lequel des gens sérieux ont réfléchi (Jean-Marc Lévy-Leblond, par exemple) et qu'il est absolument impossible de faire du bon travail (comme souvent sur WP ) sans sourcer...--Dfeldmann (d) 17 octobre 2011 à 10:42 (CEST)

1. N pas nécessairement inclus dans R? .... ?

Ben oui, ça dépend de la construction , mais, la plupart du temps, faut créer une identification (canonique) entre, par exemple, 1 et la classe des suites de Cauchy convergeant vers 0,999... (tiens, nous y revoilà)

Oui, enfin, il est indifférent de considérer la limite d'une suite de cauchy dans R et cette même limite dans N, l'identification se fait car la différence entre les deux est nulle. Existe il vraiment une construction de R qui ne fait pas cette identification, c'est à dire, qui est capable de faire une différence entre 1 de R (comme limite de suite de cauchy) et 1 de N? (vrai question)

1. le thème a été abordé dès l'antiquité, ça ne devrait pas être trop galère à sourcer (et donc un carré n'est QUE mathématique, donc la mesure de sa diagonale)

Et alors, sqrt(2), dans ce contexte, c'est physique ou pas? Comme si on n'utilisait pas Pythagore pour calculer des distances en physique...

sqrt(2) n'est que mathématique. C'est un juste réel. La question est plus de savoir si les réels représentent toujours la physique (et donc le théorème de Pythagore est utilisable hors des mathématiques), c'est un retour à la question initiale. J'ai vaguement l'impression qu'on est d'accord en présentant le sujet différemment, enfin bref...

1. Non, le principe d'incertitude ce n'est pas du tout ça, ça limite précision de la mesure de la vitesse d'une particule lorsqu'on cherche à mesurer précisément sa position. Ça limite quand même pas mal la possibilité d'avoir une mesure parfaite lorsqu'il en manque une composante (dans R4, certes, mais quand même). v_atekor (d) 17 octobre 2011 à 14:06 (CEST)

Ca n'a toujours pas de sens. On mesure parfaitement la vitesse d'un photon, par exemple, mais sa position, du coup...--Dfeldmann (d) 17 octobre 2011 à 19:09 (CEST)

Ben je suis bien d'accord. Mesurer parfaitement l'un empêche de mesurer l'autre. v_atekor (d) 17 octobre 2011 à 22:57 (CEST)

Bon, on est plus ou moins d'accord, alors. Mais juste à titre incident, en fait, N n'est pratiquement jamais un sous-ensemble de R (dans aucune des constructions que je connais, et j'en connais pas mal (pour être précis, toutes celles de Construction des nombres réels, plus les deux de Bourbaki)). Ce qui se passe, c'est qu'on démontre qu'un sous-ensemble du R qu'on a construit est isomorphe à N (ou satisfait les axiomes de Peano, ou est le monoïde engendré par 0 et 1 (définis comme neutres pour les lois du corps), ou ...), et qu'on identifie par cet isomorphisme les deux ensembles. Mais, "philosophiquement", c'est bien justement parce que ce n'est pas du tout pareil de compter 5 moutons (avec une précision infinie et pour cause) et de mesurer 5 mètres (à, mettons, un angström d'incertitude), qu'on ne peut a priori déclarer que N est contenu dans R...--Dfeldmann (d) 18 octobre 2011 à 10:42 (CEST)

Base de Hamel

"L'existence d'une telle base n'est assurée que si l'on accepte la validité du lemme de Zorn" : dit comme ça non, le bon ordre sur R est plus faible que le lemme de Zorn, mais je suppose que c'est un truc comme (je n'essaye pas de le dire poliment) dans ZF sans AC (mais avec ACD) ça ne se démontre pas. Aucun doute mais demande une "vraie" source quand même (il faut du forcing). Proz (d) 28 mars 2012 à 19:36 (CEST)

C'est exact. Maladresse de rédaction très préjudiciable dans un article de math. Dire que tout le monde fait appel au lemme de Zorn, à l'axiome du bon ordre ou à l'axiome du choix pour prouver l'existence d' une base de Hamel ne signifie pas effectivement que l'on ait démontré que l'on ne pouvait pas faire sans. J'ai donc enlevé le "que si" (mais tu aurais pu le faire toi même). Cependant, j'ai du mal à comprendre le reste de ton discours « mais je suppose que c'est un truc comme (je n'essaye pas de le dire poliment) dans ZF sans AC (mais avec ACD) ça ne se démontre pas. » (keskidi ?). Mais je te sais plus spécialiste que moi dans cette branche mathématique (moi, je croyais naivement, que Zorn, bon ordre et choix étaient équivalents) et te laisse la main pour préciser au mieux quel est l'outil le plus simple à utiliser et faire le lien vers les articles qui vont bien sur WP. HB (d) 29 mars 2012 à 08:25 (CEST)

Désolé j'étais pris par le temps. Je n'ai pas reformulé car je ne savais pas comment le faire de façon lisible dans un tel article (sauf à être radical comme tu l'as fait, ce qui ici est suffisant probablement). Je pensais que tu voulais dire que ce résultat ne peut pas se démontrer dans la théorie des ensembles sans axiome du choix (j'avais ajouté même avec l'axiome du choix dénombrable ou dépendant, c'est-à-dire ce qu'il faut pour l'analyse, et parce que l'on utilise pas le lemme de Zorn dans les cas correspondant), et l'on dit souvent "il faut l'axiome du choix" plus ou moins en ce sens. Par ailleurs pour une base sur R comme Q-ev il suffit de savoir que R est bien ordonné (preuve de Hamel d'ailleurs) ce qui est plus faible que l'axiome du choix (et probablement plus fort que le résultat), mais là on rentre vraiment dans les détails (Sinon, mais c'est hors sujet, l'existence d'une base sur un ev en général équivaut à AC). Proz (d) 29 mars 2012 à 18:50 (CEST)

§ Topologie

Après un préambule grandiloquent, on est bien frustré en ouvrant la boîte déroulante : la topologie de R n'est définie nulle part et les renvois vers l'article Voisinage ne sont que des leurres. On n'est pas plus avancé en ouvrant l'article loupe : il y est annoncé dans l'intro que ce sera la topologie de l'ordre puis, sans transition, on nous parle de suites de Cauchy et de densité, avant de définir enfin (mais simultanément) les voisinages et les ouverts. Je trouve qu'on devrait jeter (ou déplacer ?) le blabla sur Bourbaki et traiter pour de vrai (dans ce § et dans l'article loupe) le sujet de l'intitulé. Anne (discuter) 9 septembre 2013 à 21:09 (CEST)

Entre deux nombres réels

Merci Anne pour tes corrections. J'aimerais préciser dans l'article (et savoir, en fait), si l'infinité de rationnels et d'irrationnels présents entre deux réel est dénombrable ou non. Bon, les rationnels, c'est forcément dénombrable, mais les irrationnels ? L'article Ordre dense ne s'étend guère sur la question. Et en ce qui concerne les réels "purs" (non rationnels et non irrationnels) ? Il y en a une infinité, mais dénombrable ou non ? (rien n'est intuitif avec les réels et le continu..) Quelles sont les sources, ou les liens internes exploitables ? Cordialement --Jean-Christophe BENOIST (discuter) 19 août 2014 à 18:21 (CEST)

Euh, entre 2 réels différents il y a une infinité non dénombrable de réels (car c'est bijectable sur ]0, 1[ ) et si on y soustrait les rationnels (en nombre forcément dénombrable comme tu le soulignes) on a donc, par simple différence, une infinité non dénombrable d'irrationnels, ce qui répond à ta question. Mais p.-e. il y a quelque chose que je n'ai pas compris dans ton interrogation.

Sinon je ne comprends pas ta notion de "réels purs" non rationnels et non irrationnels qui me semple correspondre (une fois éliminées les doubles négations) à l'ensemble vide (P et non P). Mais sans doute voulais-tu parler d'autre chose ou derechef ai-je mal compris ton interrogation. Amicalement, --Epsilon0 ε₀ 19 août 2014 à 18:48 (CEST)

Flûte, je voulais dire (non algébrique et non rationnel). Je pensais à algébrique en disant irrationnel. Mais du coup, l'esprit plus clair, la question se dégonfle passablement et les réponses deviennent assez triviales.. Désolé du dérangement --Jean-Christophe BENOIST (discuter) 19 août 2014 à 21:18 (CEST)

Pas de souci ;-) , sinon en cas de doute il y a une infinité dénombrable de réels algébriques, calculables (, etc en "constructibilité"). Et ce qui fout la grouille en cardinalité c'est le complémentaire, soit les nbs transcendants. Le paradoxe est là : on peut parler en totalité de l'ensemble des réels mais tout sous ensemble "énumérable" (--> au sens de pouvoir exhiber finiment/constructivement ses éléments) est dénombrable. Notre mathématique contemporaine, focalisée sur |R, parle d'objets/nombres qui sont tout bonnement inaccessibles/inexprimables ... les nombres "audibles"/exprimés/décrits, .... mêmes aussi complexes que les nombres Oméga de Chaitin, que tu connais bien, n'en sont qu'une exception dénombrable dans un océan d'inacessibilité totale (je semble poétiser, mais les faits sont là !). Je laisse à chacun en tirer les conséquences qu'il veut sur sa philo (implicite ou conscientisée) des maths et plus benoîtement de la "réalité" des nombres "réels". Fin du pov de --Epsilon0 ε₀ 19 août 2014 à 22:09 (CEST).

Boîte déroulante « Pourquoi R est indispensable pour l'analyse »

pourquoi pas plutôt une fonction constante sur chacun des deux morceaux ? l'image serait plus frappante ! Anne (d) 25 mars 2010 à 23:34

Il est question d'absence de maximum, mais je suis pas sûr que ce soit indispensable. Sinon ce serait effectivement plus clair. Faut-il se poser le problème de l'absence de sources (pas l'endroit où ça me gêne le plus ceci dit) ? Proz (d) 26 mars 2010 à 00:45

Ah oui, absence de maximum, alors pourquoi pas remplacer (à droite de √2) cet exotique « f(x) = 3 – x » par f(x) = 0 ?

et à cette occasion, rendre cohérent le domaine de définition, qui est actuellement (les rationnels de) [1, 3] dans le texte et [0, 3] dans l'image

Cette source donne un exemple encore plus frappant : f(x) = 1/(x² – 2) sur (les rationnels de) [0, 2], qui est continue mais même pas majorée ni minorée.

Il y un lapsus à la fin de la 3^e phrase de cette boîte : « fractions rationnelles » pour fonctions de Q dans Q

Plus grave dans la 4^e phrase : « en termes imagés … théorème des bornes … si une voiture part et arrive du même endroit sans jamais changer de route alors … il existe un moment où la voiture est le plus loin de son point de départ. » Ce n'est pas du tout ça que dit le th. des bornes, mais plutôt : si une voiture fait des trajets sur une route nord-sud (sans nécessairement revenir à son point de départ), il existe un moment où elle est le plus au nord et un moment où elle est le plus au sud.

Anne, 20/8/14 à 4h18

Tant qu'à faire, on pourrait aussi mentionner la fonction point d'interrogation, non ? Parce qu'une fonction strictement croissante de dérivée partout nulle, ça interpelle un peu...--Dfeldmann (discuter) 20 août 2014 à 07:40 (CEST)

Usage de l'expression "fraction rationnelle" dans cet article

Cette expression est utilisée (1x) dans cet article dans le sens de "nombre rationnel", avec apparemment le sous-entendu "présenté comme fraction" ou quelque chose du genre. Peut-être sans même l'idée qu'il existe une expression consacrée fraction rationnelle pourtant titre d'un article de cette wikipédia (fr.) utillisée même là dans le sens "officiel" c'est-à-dire celui de Bourbaki. C'est une source possible de malentendus - curieux que personne parmi les auteurs de WP (fr) matheux ne s'en est aperçu jusqu'ici--Ulysse (alias UKe-CH) (discuter) 21 septembre 2019 à 08:57 (CEST)

Désolé, je ne vois pas où. Précisez le passage douteux, s'il vous plait.--Dfeldmann (discuter) 21 septembre 2019 à 12:27 (CEST)

Corrigé. Merci du signalement. HB (discuter) 21 septembre 2019 à 14:17 (CEST)