Discussion:Quotient isopérimétrique

Justification de la refonte

Il existe plusieurs articles sur l'isopérimétrie, dont initialement trois relativement pauvres : isopérimétrie, Inégalité isopérimétrique et celui-ci. L'idée est de les regrouper en un minimum de 2 articles : un d'accès grand public isopérimétrie et l'autre plus technique théorème isopérimétrique.

Toutes les informations de l'article sont maintenant transférées, sauf le lien vers mathworld, trop approximatif. Jean-Luc W (d) 3 octobre 2008 à 13:01 (CEST)

Définitions multiples et sources à trouver

Quelqu'un aurait-il une source pour notre expression du quotient isopérimétrique:$q=4\pi {\frac {S}{p^{2}}}$ pour une surface et $q=36\pi {\frac {V^{2}}{S^{3}}}$ pour un solide? Quand je cherche sur internet j'ai la formule ${\frac {|{\text{Frontière}}|^{n}}{|{\text{Intérieur}}|^{n-1}}}$ voir pour la science avec L^2/A en dim 2, voir en:Isoperimetric ratio; ici, il est défini comme ${\frac {|{\text{Frontière}}|}{|{\text{Intérieur}}|^{\frac {n-1}{n}}}}$. Cela ne modifie pas le fond des articles comme isopérimétrie ou théorème isopérimétrique, mais là où les auteurs ont tendance à chercher la valeur minimum du quotient, WP cherche à trouver la valeur maximale et il y a le coefficient 4pi ou 36pi ajouté pour que le max soit de 1 qui empêche de faire une généralisation simple. Enfin, si on juge nécessaire de définir un objet, il serait bien de retrouver ce même objet avec la même définition dans les sources papiers. HB (discuter) 13 juin 2020 à 08:06 (CEST)

Complément d'enquête

• l'encyclopédie concise le définit comme le rapport entre l'aire d'une surface et l'aire de la surface maximale obtenue pour le même diamètre[1] ce qui correspond bien à notre formule pour le plan. Elle ne dit rien pour l'espace mais si on l'applique de la même façon pour un solide : rapport entre le volume du solide et le volume maximal que l'on peut enfermer dans la même surface on n'obtient pas la formule de WP mais sa racine carrée
• Weinstein le définit seulement dans le plan comme le rapport entre l'aire de la surface et l'aire du disque de même périmètre[2]
• Mathworld reprend la version papier mais ajoute une définition perso pour l'espace comme ${\frac {r_{v}^{2}}{r_{S}^{3}}}$ qu'il faut lire je pense comme ${\frac {r_{v}^{6}}{r_{S}^{6}}}$ pour qu'elle redonne bien la formule de notre article mais que je n'ai vue nulle part ailleurs[3] tandis que l'on trouve toujours la version frontière^n/intérieur^(n-1)
• dans Chakerian, G. D. “The Isoperimetric Quotient: Another Look at an Old Favorite.” The College Mathematics Journal, vol. 22, no. 4, 1991, pp. 313–315. JSTOR, www.jstor.org/stable/2686234. P²/A et par analogie S³/V²
• dans ce livre S(C)^n/V(C)^(n-1)

J'avoue que j'ai du mal à gérer ces définition différentes avec leurs erreurs et imprécisions. HB (discuter) 13 juin 2020 à 11:09 (CEST)

Je ne comprends pas ton « WP cherche à trouver la valeur maximale ». Il n'y a pas de limite supérieure, le rapport peut aller jusqu'à l'infini. Exemples : une ellipse que l'on aplatit jusqu'à devenir un double-segment, un ellipsoïde que l'on aplatit jusqu'à devenir une double-galette, etc. — Ariel (discuter) 13 juin 2020 à 14:30 (CEST)

Tu me confirmes qu'il y a confusion dans la tête des gens. Une ellipse que l'on aplatit devient un segment : S=0, p=2a, donc la formule de WP donne $q=4\pi {\frac {S}{p^{2}}}=0$, la valeur la plus grande du rapport est 1 quand la surface est un disque. Avec la formule p²/S, le quotient isopérimétrique de l'ellipse aplatie est infini et le quotient est minimal pour le disque et vaut 4pi. Il est donc urgent de clarifier les définitions. HB (discuter) 13 juin 2020 à 15:03 (CEST)

Ah, je m'étais fié aux formules que tu donnes ci-dessus (du genre frontièreⁿ/intérieur^m avec les bons exposants), alors que dans l'article c'est le rapport inverse (au facteur constant près). Dans le premier cas le rapport va d'un minimum à l'infini, dans l'autre de zéro à un maximum. — Ariel (discuter) 13 juin 2020 à 17:16 (CEST)

Bon j'ai finalement refondu l'article en indiquant toutes les définitions rencontrée (par neutralité). HB (discuter) 14 juin 2020 à 15:52 (CEST)