Discussion:Théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre

Autre démonstration

j'ai supprimé de l'article cette démonstration car,

1. elle faisait double emploi avec la précedente car travaillant sur la même idée
2. elle était plus longue et sans figure associée
3. elle est fausse si le centre du cercle n'est pas intérieur au triangle AMB

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par HB (discuter), le 22/10/2006.

Démonstration

Comme OA, OM et OB sont des rayons du cercle, alors les triangles AOM, AOB et BOM sont isocèles en O. On a donc:

${\widehat {MAO}}={\widehat {AMO}}=a$

${\widehat {OAB}}={\widehat {ABO}}=b$

${\widehat {OMB}}={\widehat {MBO}}=c$

Dans le triangle ABM, exprimons ces trois angles de la manière suivante:

${\widehat {AMB}}={\widehat {AMO}}+{\widehat {OMB}}=a+c$

${\widehat {MAB}}={\widehat {MAO}}+{\widehat {OAB}}=a+b$

${\widehat {ABM}}={\widehat {ABO}}+{\widehat {OBM}}=b+c$

La somme de ces trois angles est égale à 180 degré:

${\widehat {ABM}}+{\widehat {MAB}}+{\widehat {AMB}}=b+c+a+b+a+c=2a+2b+2c=2(a+b+c)=180$

On divise chaque côté par 2, on obtient:

$a+b+c=90$

On isole a + c:

$a+c=90-b$

Maintenant exprimons dans le triangle AOB les égalités entre les angles:

${\widehat {OAB}}+{\widehat {ABO}}+{\widehat {BOA}}=b+b+{\widehat {BOA}}=2b+{\widehat {BOA}}=180$

On isole ${\widehat {BOA}}$:

${\widehat {BOA}}=180-2b$

On reprend l'expression $a+c=90-b$ que l'on multiplie par 2:

$2(a+c)=2(90-b)=180-2b$

On conclut:

$2(a+c)=180-2b={\widehat {BOA}}$

Donc:

$2{\widehat {AMB}}={\widehat {BOA}}$

Angle de la corde et d'une tangente

Insertion d'un article extrait de mon site "Avec GéoPlan" : cercles au collège

PDebart 21 décembre 2006 à 00:24 (CET)

Angle géométrique

Quelle est la définition exacte d'angle géométrique adoptée ici ? Dans les bouquins je trouve des définitions qui impliquent que deux secteurs angulaires complémentaires représentent le même angle géométrique, alors que dans cet article-ci ce n'est pas le cas. Plus précisément, si j'ai bien compris, il ne s'agit pas ici de classes (d'équivalence) de paires de secteurs mais de classes de secteurs tout court : ${\widehat {AMB}}$ est la classe de celui des 2 secteurs qui est saillant (ce qui permet de définir son double), et ${\widehat {AOB}}$ est la classe d'équivalence du secteur qui « intercepte » le même des deux arcs AB que ce secteur saillant. Est-ce qu'il existe une source expliquant cela aussi clairement ? Si oui, ce serait bien d'en faire autant. Sinon, c'est que j'étais la seule à me noyer dans un verre d'eau.

Anne, 8/7/17

Il ne faudrait pas vieillir. Moi, j'avais des vieux chaussons dans lesquels je me sentais bien : il y avait l'angle géométrique (celui sans orientation) classe d'équivalence de secteurs angulaires superposables, parmi lesquels on distinguait les saillants et les rentrants. Le contexte permettait souvent de savoir s'il s'agissait du rentrant ou du saillant, sinon, on le précisait par un adjectif ou une notation. Le terme géométrique, comme les termes saillants et rentrants disparaissait du langage dès qu'il n'y avait pas ambiguité (géométrie du triangle, cas des angles d'un polygone, cas des angles au centre interceptant un arc donné). Le terme «géométrique» revenait quand on voulait préciser l'absence d'orientation. Je retrouve cette notion dans ce livre. Certes, il restait quelques problèmes de notations (angle avec A ou a? - présence et forme du chapeau, en particulier dans le cas du théorème de l'angle au centre où l'angle au centre peut être saillant ou rentrant,...). Visiblement, la définition semble avoir changé[1] l'angle géométrique étant synonyme maintenant d'angle saillant. Dans la plupart des cas, comme on travaille sur la géométrie du triangle, cela ne posera pas de problème. Reste le cas des diagrammes en camembert et des polygones non convexes dans lesquels certains angles seront géométriques et d'autres pas. J'aime moins ces nouveaux chaussons mais je finirai par m'habituer. Reste à traiter les articles de WP. Il serait bon de reprendre l'article angle. Je n'aime pas trop cette modification qui privilégie une notion parmi plusieurs, et qui introduit une précision qui m'a fait tiquer (en géométrie élémentaire, des angles complémentaires sont des angles dont la somme fait 90°) mais je te laisse arranger les choses au mieux. Dans les autres articles, on peut peut-être se contenter d'une précision en note de bas de page «ici,le terme géométrique précise seulement que les angles ne sont pas orientés». On pourrait remplacer directement «géométrique» par «non orienté» mais cela ne correspond pas à ma philosophie : l'orientation est une notion plus complexe et plus tardive et elle ne devrait pas servir de référence dans une notion plus élémentaire.HB (discuter) 10 juillet 2017 à 12:09 (CEST)