Raisonnement par disjonction de cas

Le raisonnement par disjonction de cas est une forme de preuve directe qui consiste à décomposer la proposition que l'on cherche à démontrer en un nombre fini de cas (sous-propositions) vérifiés indépendamment.

Exemple

Proposition : Pour tout $n\in \mathbb {N}$, ${\dfrac {n(n+1)}{2}}$ est un entier.

Démonstration : on peut séparer deux cas, $n$ est pair et $n$ est impair :

• Si $n$ est pair alors $n=2k$ avec $k\in \mathbb {N}$ et alors ${\dfrac {n(n+1)}{2}}={\dfrac {2k(2k+1)}{2}}=k(2k+1)$ ce qui est entier.
• Si $n$ est impair, alors $n=2k+1$ avec $k\in \mathbb {N}$ et alors ${\dfrac {n(n+1)}{2}}={\dfrac {(2k+1)(2k+2)}{2}}={\dfrac {2(k+1)(2k+1)}{2}}=(k+1)(2k+1)$ ce qui est aussi entier.

Ainsi dans les deux cas ${\dfrac {n(n+1)}{2}}$ est entier, donc c'est vrai pour tout $n\in \mathbb {N}$.