Raisonnement par disjonction de cas

Le raisonnement par disjonction de cas est une forme de preuve directe qui consiste à décomposer la proposition que l'on cherche à démontrer en un nombre fini de cas (sous-propositions) vérifiés indépendamment.

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Exemple

Proposition : Pour tout $n \in ℕ$ , $\frac{n (n + 1)}{2}$ est un entier.

Démonstration : on peut séparer deux cas, $n$ est pair et $n$ est impair :

Si $n$ est pair alors $n = 2 k$ avec $k \in ℕ$ et alors $\frac{n (n + 1)}{2} = \frac{2 k (2 k + 1)}{2} = k (2 k + 1)$ ce qui est entier.
Si $n$ est impair, alors $n = 2 k + 1$ avec $k \in ℕ$ et alors $\frac{n (n + 1)}{2} = \frac{(2 k + 1) (2 k + 2)}{2} = \frac{2 (k + 1) (2 k + 1)}{2} = (k + 1) (2 k + 1)$ ce qui est aussi entier.

Ainsi dans les deux cas $\frac{n (n + 1)}{2}$ est entier, donc c'est vrai pour tout $n \in ℕ$ .

Notes et références

Liens externes

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