Distance produit

En mathématiques, une distance produit est une distance définie sur le produit cartésien d'un nombre fini d'espaces métriques qui soit compatible avec la topologie produit.

En particulier, pour n espaces métriques (X₁,d_X1) ... (X_n, d_Xn), on peut définir les distances produit de degré p pour $p\in [1,\infty )$ comme la norme p du vecteur de dimension n dont les coordonnées sont les n distances mesurées dans les différents espaces :

$d_{p}((x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}))=\|\left(d_{X_{1}}(x_{1},y_{1}),\ldots ,d_{X_{n}}(x_{n},y_{n})\right)\|_{p}$

Pour $p=\infty$ cette distance est également appelée distance-sup :

$d_{\infty }((x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})):=\max \left\{d_{X_{1}}(x_{1},y_{1}),\ldots ,d_{X_{n}}(x_{n},y_{n})\right\}.$

Choix de la norme

Dans un espace euclidien, on choisira la norme L₂ pour obtenir la distance euclidienne usuelle dans l'espace produit ; toutefois, les normes étant équivalentes, toute autre valeur de p induira la même topologie.

En théorie des catégories on utilise généralement la norme-sup pour le produit (au sens de la théorie des catégories) dans la catégorie des espaces métriques.

Le cas des variétés riemanniennes

Pour deux variétés riemanniennes $(M_{1},g_{1})$ et $(M_{2},g_{2})$, la métrique produit $g=g_{1}\oplus g_{2}$ sur $M_{1}\times M_{2}$ est définie par

$g(X_{1}+X_{2},Y_{1}+Y_{2})=g_{1}(X_{1},Y_{1})+g_{2}(X_{2},Y_{2})$

pour $X_{i},Y_{i}\in T_{p_{i}}M_{i}$avec l'identification naturelle $T_{(p_{1},p_{2})}(M_{1}\times M_{2})=T_{p_{1}}M_{1}\oplus T_{p_{2}}M_{2}$.