Dodécaèdre adouci

Le dodécaèdre adouci est un solide d'Archimède.

Dodécaèdre adouci

Éléments

Faces	Arêtes	Sommets
92 triangles et pentagones	150	60 de degré 5

Données clés

Type	Solide d'Archimède
Caractéristique	2
Propriétés	Semi-régulier et convexe, chiral
Groupe de symétrie	Ih
Dual	Hexacontaèdre pentagonal

Il possède 92 faces dont 12 sont des pentagones et les 80 autres des triangles équilatéraux, 150 arêtes et 60 sommets. Il a deux formes distinctes, qui sont images miroir (ou énantiomorphes) l'une de l'autre.

Construction

Le dodécaèdre peut être engendré en prenant les douze faces pentagonales du dodécaèdre, en les tirant vers l'extérieur de telle façon qu'aucune ne se touchent, puis en leur donnant toutes une rotation de leurs centres (toutes en sens horaire ou toutes en sens anti-horaire) jusqu'à ce que l'espace entre elles puisse être rempli par des triangles équilatéraux.

On peut aussi l'obtenir à partir du rhombicosidodécaèdre en effectuant une rotation de ses faces pentagonales de sorte à transformer ses 30 faces carrées en 60 faces triangulaires équilatérales.

Coordonnées cartésiennes des sommets

On obtient les coordonnées cartésiennes des sommets d'un dodécaèdre adouci en prenant les permutations paires (donc les trois permutations circulaires) de

$(\pm 2\alpha ,\pm 2,\pm 2\beta )\,$,

$\left(\pm \left(\alpha +{\frac {\beta }{\varphi }}+\varphi \right),\pm \left(-\alpha \varphi +\beta +{\frac {1}{\varphi }}\right),\pm \left({\frac {\alpha }{\varphi }}+\beta \varphi -1\right)\right)$,

$\left(\pm \left(-{\frac {\alpha }{\varphi }}+\beta \varphi +1\right),\pm \left(-\alpha +{\frac {\beta }{\varphi }}-\varphi \right),\pm \left(\alpha \varphi +\beta -{\frac {1}{\varphi }}\right)\right)$,

$\left(\pm \left(-{\frac {\alpha }{\varphi }}+\beta \varphi -1\right),\pm \left(\alpha -{\frac {\beta }{\varphi }}-\varphi \right),\pm \left(\alpha \varphi +\beta +{\frac {1}{\varphi }}\right)\right)$ et

$\left(\pm \left(\alpha +{\frac {\beta }{\varphi }}-\varphi \right),\pm \left(\alpha \varphi -\beta +{\frac {1}{\varphi }}\right),\pm \left({\frac {\alpha }{\varphi }}+\beta \varphi +1\right)\right)$,

Patron du dodécaèdre adouci

avec un nombre pair de signes plus, où

$\alpha =\eta -{\frac {1}{\eta }}$

et

$\beta =\eta \varphi +\varphi ^{2}+{\frac {\varphi }{\eta }}$,

où $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ est le nombre d'or et $\eta \,$ est la solution réelle de $x^{3}-2x=\varphi \,$, qui est le nombre

$\eta ={\sqrt[{3}]{{\frac {\varphi }{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\varphi -{\frac {5}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {\varphi }{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\varphi -{\frac {5}{27}}}}}}\approx 1,716$.

Prendre les permutations impaires des coordonnées ci-dessus, ou les mêmes permutations avec un nombre impair de signes plus, donne la forme énantiomorphe de la précédente.

Mensurations

La surface totale du dodécaèdre adouci d'arête de longueur 1 est $$S=80S_{3}+12S_{5}=20{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\approx 55,287$$où $S_{3}={\sqrt {3}}/4$ et $S_{5}={\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}/4$ sont les aires respectives du triangle et du pentagone ; voir la suite A377804 de l'OEIS.

Le rayon de la sphère circonscrite est $$r={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-\xi }{1-\xi }}}\approx 2,156$$où $\xi$ est la solution réelle de $x^{3}+2x^{2}=\varphi ^{2}$ : $\xi ={\frac {\varphi }{\eta }}=\eta ^{2}-2\approx 0,943$ (voir la suite A377849 de l'OEIS).

Ce polyèdre possède deux sphères inscrites, la première tangente aux faces triangulaires et l'autre, légèrement plus petite, tangente aux faces pentagonales. Leurs rayons respectifs sont : $${\begin{aligned}r_{3}&={\frac {\varphi {\sqrt {3}}}{6\xi {\sqrt {1-\xi }}}}\approx 2,077\\[4pt]r_{5}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\varphi ^{2}\xi ^{2}+3\varphi ^{2}\xi +{\frac {11}{5}}\varphi +{\frac {12}{5}}}}\approx 1,981\end{aligned}}$$

Son volume est$$V=80{\frac {S_{3}r_{3}}{3}}+12{\frac {S_{5}r_{5}}{3}}={\frac {(3\varphi +1)\xi (\xi +1)-\varphi /6-2}{\sqrt {3\xi ^{2}-\varphi ^{2}}}}\approx 37,617$$voir la suite A377805 de l'OEIS.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Snub dodecahedron » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Articles connexes

• Polyèdre adouci

Liens externes

• Robert Ferréol, « Dodécaèdre adouci », sur Encyclopédie des formes mathématiques remarquables
• Geneviève Tulloue, « De l'icosaèdre au dodécaèdre par adoucissement », sur phyanim.sciences.univ-nantes.fr: animation montrant le dodécaèdre adouci comme passage entre l'icosaèdre et le dodécaèdre
• (en) Vincent Herr, « Modèle en fil de fer d'un dodécaèdre adouci irrégulier », 2004