Droite projective

En géométrie, une droite projective est un espace projectif de dimension 1.

En première approche (en oubliant sa structure géométrique), la droite projective sur un corps $K$, notée $\mathbb {P} ^{1}(K)$, peut être définie comme l'ensemble des droites vectorielles du plan vectoriel $K^{2}$. Cet ensemble s'identifie à la droite $K$ à laquelle on ajoute un point à l'infini.

La notion de droite projective se généralise en remplaçant le corps $K$ par un anneau.

Coordonnées homogènes

Une droite vectorielle de $K^{2}$, et donc un point de la droite projective $\mathbb {P} ^{1}(K)$, est définie par un point $(x_{1},x_{2})$ de cette droite autre que l'origine. Autrement dit, un point sur la droite projective $\mathbb {P} ^{1}(K)$ est représenté par une paire de la forme : $[x_{1}:x_{2}]\,$ où $x_{1},x_{2}\in K\,$ ne sont pas tous deux nuls. On dit que la paire $[x_{1}:x_{2}]\,$ est un système de coordonnées homogènes de ce point.

Ce point de $\mathbb {P} ^{1}(K)$ correspond à la droite de $K^{2}$ d'équation $x_{2}x=x_{1}y\,$.

Deux telles paires $[x_{1}:x_{2}]\,$ et $[x_{1}^{\prime }:x_{2}^{\prime }]\,$ représentent donc le même point de $\mathbb {P} ^{1}(K)$ si elles ne diffèrent que par un facteur non nul λ :

$[x_{1}:x_{2}]=[\lambda x_{1}:\lambda x_{2}].\,$

On a défini ainsi une relation d'équivalence sur $K^{2}\setminus (0,0)$ et $P^{1}(K)$ est l'ensemble quotient de $K^{2}\setminus (0,0)$ par cette relation d'équivalence, ou encore le quotient ${\big (}K^{2}\setminus (0,0){\big )}/K^{\ast }$ de $K^{2}\setminus (0,0)$ par l'action par homothéties du groupe multiplicatif $K^{\ast }$.

On peut K identifier au sous-ensemble de $\mathbb {P} ^{1}(K)$ donné par :

$\left\{[a:1]\in \mathbb {P} ^{1}(K)\ {\big |}\ a\in K\right\}$

(l'élément $a$ de $K$ correspond à la droite de $K^{2}$ d'équation $x=ay$).

Ce sous-ensemble couvre tous les points de $\mathbb {P} ^{1}(K)$, excepté le point à l'infini $\infty =[1:0]$ (correspondant à la droite de $K^{2}$ d'équation $y=0$).

Homographies

Le groupe linéaire GL(2, K) agit sur $K^{2}\setminus \{(0,0)\}$ et cette action passe au quotient. Comme les homothéties donnent l'identité par passage au quotient, on obtient une action du groupe quotient $\mathrm {GL} (2,K)/K^{*}$, noté PGL(2, K) et appelé groupe des homographies.

Soit $A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}$ une application linéaire inversible. L'homographie correspondante $f$ est donnée, avec les conventions du paragraphe ci-dessus, par

$f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}$ si $x\in K$ est différent de $-{\frac {d}{c}}$.

Pour $x=-{\frac {d}{c}}$, on a $f(x)=\infty$. L'image du point à l'infini est ${\frac {a}{c}}$.

Si $c=0$, alors $f$ est une transformation affine : les transformations affines apparaissent comme les homographies qui conservent le point à l'infini.

L'action de PGL(2, K) sur P¹(K) est strictement 3-transitive, c'est-à-dire qu'étant donné deux triplets de points deux à deux distincts $(x_{1},x_{2},x_{3})$ et $(y_{1},y_{2},y_{3})$, il existe une homographie et une seule telle que $f(x_{i})=y_{i}$ (pour le montrer, on peut se ramener par composition au cas particulier $(y_{1},y_{2},y_{3})=(0,1,\infty )$).

Birapport

Soient $a,b,c,d$ quatre points distincts. Il existe une homographie et une seule qui envoie $(a,b,c)$ sur $(\infty ,0,1)$. L'image du quatrième point $d$ est par définition le birapport de ces quatre points, et noté $[a,b,c,d]$. Si ces points sont tous différents de $\infty$,

$[a,b,c,d]={\frac {c-a}{c-b}}:{\frac {d-a}{d-b}}$, d'où le nom. (Comparer à l'article Rapport anharmonique.)

Le birapport $[a,b,c,\infty ]$ est égal à ${\frac {c-a}{c-b}}$.

Exemples

Nombres réels

Si $K$ est le corps $\mathbb {R}$ des nombres réels, alors la droite projective réelle est obtenue en intersectant les droites vectorielles de $\mathbb {R} ^{2}$ avec le cercle unité et en identifiant chaque point de ce cercle au point diamétralement opposé (puisqu'il correspond à la même droite). En termes de théorie des groupes, ceci équivaut à prendre le groupe quotient du cercle par le sous-groupe $\{1;-1\}$.

La topologie de cet espace quotient est celle d'un cercle. On peut en effet le concevoir en imaginant les $+\infty$ et $-\infty$ des nombres réels collés ensemble pour ne former qu'un seul point à l'infini, $\infty$, dit point à l'infini dans la direction de la droite réelle.

La droite projective réelle diffère donc de la droite réelle achevée, où une distinction est faite entre $+\infty$ et $-\infty$.

Nombres complexes

La sphère de Riemann $\mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )$. L'application $P$ est la réciproque de la projection stéréographique, du plan complexe vers la sphère privée du point noté $P(\infty )$

Si le corps $K$ est l'ensemble des nombres complexes, on obtient de même la droite projective complexe comme espace topologique quotient, homéomorphe à la sphère usuelle. Elle est aussi connue sous le nom de sphère de Riemann ou sphère de Gauss. Elle s'identifie au plan complexe $\mathbb {C}$ auquel on ajoute un point à l'infini.

C'est l'exemple le plus simple de surface de Riemann compacte. Ceci explique qu'on rencontre souvent la droite projective en analyse complexe, en géométrie algébrique et en théorie des variétés complexes.

Corps finis

Si $K$ est le corps corps fini à $q$ éléments, alors la droite projective est constituée de $q+1$ points. En effet, on peut décrire toutes les droites de $K^{2}$, sauf une, par une équation de la forme $x=ay$ où $a\in K$. La droite restante est celle d'équation $y=0$.