Développement de Magnus

En mathématiques et en physique, le développement de Magnus, nommée d'après le mathématicien allemand Wilhelm Magnus (1907-1990), donne une représentation exponentielle de la solution intégrale produit d'un système d'équations différentielles linéaires homogène du premier ordre avec un opérateur linéaire . Plus précisément, il fournit la matrice fondamentale d'un système d' équations différentielles ordinaires linéaires d'ordre n à coefficients variables. L'exposant est écrit sous forme d'une série infinie, dont les termes font intervenir des intégrales multiples et des commutateurs imbriqués.

Le cas déterministe

L'approche de Magnus et son interprétation

Étant donné la matrice A(t) de taille n, on souhaite résoudre le problème de Cauchy associé à l'équation différentielle ordinaire linéaire :

$Y(t)=\exp {\big (}\Omega (t,t_{0}){\big )}\,Y_{0},$

pour la fonction vectorielle inconnue n dimensions Y(t) .

Quand n = 1, la solution est donnée sous forme d'une intégrale produit

$Y(t)=\exp \left(\int _{t_{0}}^{t}A(s)\,ds\right)Y_{0}.$

Cela reste valable pour n > 1 si la matrice A(t) satisfait A(t₁) A(t₂) = A(t₂) A(t₁) pour toute paire de valeurs de t, t₁ et t₂. En particulier, c'est le cas si la matrice A est constante et indépendante de t. Dans le cas général, cependant, l'expression ci-dessus n'est plus la solution du problème.

L'approche introduite par Magnus pour résoudre le problème de Cauchy matriciel consiste à exprimer la solution au moyen de l'exponentielle d'une certaine fonction matricielle n × n Ω(t, t₀) :

$Y'(t)=A(t)Y(t),\quad Y(t_{0})=Y_{0}$

qui est ensuite exprimée par un développement série de fonctions :

$\Omega (t)=\sum _{k=1}^{\infty }\Omega _{k}(t),$

où, par souci de simplicité, on écrit généralement Ω(t) pour Ω(t, t₀) et on prend t₀ = 0.

Magnus a considéré que, puisque d/dt (e^Ω) e^−Ω = A(t), en utilisant une identité matricielle de Poincaré-Hausdorff, il pouvait relier la dérivée temporelle de à la fonction génératrice des nombres de Bernoulli et l'endomorphisme adjoint de

$\Omega '={\frac {\operatorname {ad} _{\Omega }}{\exp(\operatorname {ad} _{\Omega })-1}}A,$

pour résoudre Ω de manière récursive en termes de A « dans un analogue continu de la formule BCH », comme indiqué dans une section ultérieure.

L'équation ci-dessus constitue le développement de Magnus, ou série de Magnus, pour la solution du problème matriciel linéaire à valeurs initiales. Les quatre premiers termes de cette série sont :

${\begin{aligned}\Omega _{1}(t)&=\int _{0}^{t}A(t_{1})\,dt_{1},\\\Omega _{2}(t)&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}dt_{1}\int _{0}^{t_{1}}dt_{2}\,[A(t_{1}),A(t_{2})],\\\Omega _{3}(t)&={\frac {1}{6}}\int _{0}^{t}dt_{1}\int _{0}^{t_{1}}dt_{2}\int _{0}^{t_{2}}dt_{3}\,{\Bigl (}{\big [}A(t_{1}),[A(t_{2}),A(t_{3})]{\big ]}+{\big [}A(t_{3}),[A(t_{2}),A(t_{1})]{\big ]}{\Bigr )},\\\Omega _{4}(t)&={\frac {1}{12}}\int _{0}^{t}dt_{1}\int _{0}^{t_{1}}dt_{2}\int _{0}^{t_{2}}dt_{3}\int _{0}^{t_{3}}dt_{4}\,\left({\Big [}{\big [}[A_{1},A_{2}],A_{3}{\big ]},A_{4}{\Big ]}\right.\\&\qquad +{\Big [}A_{1},{\big [}[A_{2},A_{3}],A_{4}{\big ]}{\Big ]}+{\Big [}A_{1},{\big [}A_{2},[A_{3},A_{4}]{\big ]}{\Big ]}+\left.{\Big [}A_{2},{\big [}A_{3},[A_{4},A_{1}]{\big ]}{\Big ]}\right),\end{aligned}}$

où [A, B] ≡ A B − B A est le commutateur matriciel de A et B .

Ces équations peuvent être interprétées comme suit : Ω₁(t) coïncide exactement avec l'exposant du scalaire ( n = 1) Dans ce cas, cette équation ne donne pas la solution complète. Si l'on souhaite une représentation exponentielle ( groupe de Lie ), l'exposant doit être corrigé. Le reste de la série de Magnus apporte cette correction de manière systématique : Ω ou des parties de celui-ci, appartiennent à l' algèbre de Lie du groupe de Lie de la solution.

En pratique, il est rarement possible de sommer exactement la série de Magnus ; il faut donc la tronquer pour obtenir des solutions approchées. Le principal avantage de la proposition de Magnus réside dans le fait que la série tronquée partage très souvent d'importantes propriétés qualitatives avec la solution exacte, à l'instar d'autres théories des perturbations classiques. Par exemple, en mécanique classique, le caractère symplectique de l' évolution temporelle est préservé à tous les ordres d'approximation. De même, le caractère unitaire de l'opérateur d'évolution temporelle en mécanique quantique est également préservé (contrairement, par exemple, à la série de Dyson qui résout le même problème).

Convergence du développement

D'un point de vue mathématique, le problème de convergence est le suivant : étant donné une certaine matrice A(t), quand l'exposant Ω(t) peut-il être obtenu comme la somme de la série de Magnus ?

Une condition suffisante pour que cette série converge pour t ∈ [0,T) est

$\int _{0}^{T}\|A(s)\|_{2}\,ds<\pi ,$

où $\|\cdot \|_{2}$ désigne une norme matricielle . Ce résultat est générique dans le sens où l'on peut construire des matrices spécifiques A(t) pour lesquelles la série diverge pour tout t > T .

Générateur de Magnus

Une procédure récursive, permettant de générer tous les termes du développement de Magnus, utilise les matrices S_n^(k) définies récursivement par

$S_{n}^{(j)}=\sum _{m=1}^{n-j}\left[\Omega _{m},S_{n-m}^{(j-1)}\right],\quad 2\leq j\leq n-1,$

$S_{n}^{(1)}=\left[\Omega _{n-1},A\right],\quad S_{n}^{(n-1)}=\operatorname {ad} _{\Omega _{1}}^{n-1}(A),$

qui fournissent ensuite

$\Omega _{1}=\int _{0}^{t}A(\tau )\,d\tau ,$

$\Omega _{n}=\sum _{j=1}^{n-1}{\frac {B_{j}}{j!}}\int _{0}^{t}S_{n}^{(j)}(\tau )\,d\tau ,\quad n\geq 2.$

Ici, ad ^k _Ω est une notation abrégée pour un commutateur itéré (voir endomorphisme adjoint ) :

$\operatorname {ad} _{\Omega }^{0}A=A,\quad \operatorname {ad} _{\Omega }^{k+1}A=[\Omega ,\operatorname {ad} _{\Omega }^{k}A],$

tandis que B_j sont les nombres de Bernoulli avec B₁ = −1/2 .

Enfin, lorsque cette récurrence est explicitement développée, il est possible d'exprimer Ω_n(t) comme une combinaison linéaire d'intégrales n fois supérieures à n − 1 commutateurs imbriqués impliquant n matrices A :

$\Omega _{n}(t)=\sum _{j=1}^{n-1}{\frac {B_{j}}{j!}}\sum _{k_{1}+\cdots +k_{j}=n-1 \atop k_{1}\geq 1,\ldots ,k_{j}\geq 1}\int _{0}^{t}\operatorname {ad} _{\Omega _{k_{1}}(\tau )}\operatorname {ad} _{\Omega _{k_{2}}(\tau )}\cdots \operatorname {ad} _{\Omega _{k_{j}}(\tau )}A(\tau )\,d\tau ,\quad n\geq 2,$

qui devient de plus en plus complexe avec n .

Représentation canonique

Une expression non récursive pour tous les termes du développement de Magnus peut également être formulée en codant la combinatoire de la récursion dans une seule intégrale. Ce résultat a été obtenu par Bialynicki-Birula, Mielnik et Plebañski en 1969. La solution itérative Y(t,t_0) du problème de Cauchy peut s'écrire : $Y(t,t_{0})=I+\sum _{n=1}^{\infty }\int _{t_{0}}^{t}dt_{n}\dots \int _{t_{0}}^{t}A(t_{n})\theta _{n,n-1}dt_{1}A(t_{n-1})\dots \theta _{2,1}A(t_{1})\qquad \theta _{k,l}={\begin{cases}1,\quad t_{k}\geq t_{l}\\0,\quad t_{k}<t_{l}\end{cases}}$ Ensuite, cette représentation peut être utilisée pour dériver la représentation canonique de $\Omega _{n}$, en utilisant une fonction $\Theta _{n}(t_{1},\dots ,t_{n})$ qui compte l'ordre temporel et encode ainsi la structure combinatoire de l'expansion :

$\Theta _{n}(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n})=\theta _{n,n-1}+\theta _{n-1,n-2}+\dots \theta _{2,1}$

${\displaystyle \Omega _{n}={\frac {1}{n!}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{n}\dots \int _{t_{0}}^{t}dt_{1}(-1)^{n-\Theta -1}\Theta$ !(n-\Theta -1)!A(t_{n})\cdots A(t_{1})}

Ce format est avantageux dans de nombreuses applications en raison de ses limites d'intégration indépendantes et de sa forme fermée pour un degré arbitraire.

Le cas stochastique

Extension aux équations différentielles ordinaires stochastiques

Pour l'extension au cas stochastique, soit ${\textstyle \left(W_{t}\right)_{t\in [0,T]}}$ être un ${\textstyle \mathbb {R} ^{q}}$ mouvement brownien à n dimensions, ${\textstyle q\in \mathbb {N} _{>0}}$, sur l' espace de probabilité ${\textstyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} \right)}$ avec un horizon temporel fini ${\textstyle T>0}$ et la filtration naturelle. Considérons maintenant l'équation différentielle stochastique d'Itô à valeurs matricielles linéaires (avec la convention de sommation d'Einstein sur l'indice j ).

$dX_{t}=B_{t}X_{t}dt+A_{t}^{(j)}X_{t}dW_{t}^{j},\quad X_{0}=I_{d},\qquad d\in \mathbb {N} _{>0},$

où ${\textstyle B_{\cdot },A_{\cdot }^{(1)},\dots ,A_{\cdot }^{(j)}}$ sont progressivement mesurables ${\textstyle d\times d}$ processus stochastiques bornés à valeurs - et ${\textstyle I_{d}}$ est la matrice identité . En suivant la même approche que dans le cas déterministe, avec des modifications dues au contexte stochastique le logarithme matriciel correspondant s'avère être un processus d'Itô, dont les deux premiers ordres de développement sont donnés par ${\textstyle Y_{t}^{(1)}=Y_{t}^{(1,0)}+Y_{t}^{(0,1)}}$ et ${\textstyle Y_{t}^{(2)}=Y_{t}^{(2,0)}+Y_{t}^{(1,1)}+Y_{t}^{(0,2)}}$, où avec la convention de sommation d'Einstein sur i et j

${\begin{aligned}Y_{t}^{(0,0)}&=0,\\Y_{t}^{(1,0)}&=\int _{0}^{t}A_{s}^{(j)}\,dW_{s}^{j},\\Y_{t}^{(0,1)}&=\int _{0}^{t}B_{s}\,ds,\\Y_{t}^{(2,0)}&=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\big (}A_{s}^{(j)}{\big )}^{2}\,ds+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\Big [}A_{s}^{(j)},\int _{0}^{s}A_{r}^{(i)}\,dW_{r}^{i}{\Big ]}dW_{s}^{j},\\Y_{t}^{(1,1)}&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\Big [}B_{s},\int _{0}^{s}A_{r}^{(j)}\,dW_{r}{\Big ]}\,ds+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\Big [}A_{s}^{(j)},\int _{0}^{s}B_{r}\,dr{\Big ]}\,dW_{s}^{j},\\Y_{t}^{(0,2)}&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\Big [}B_{s},\int _{0}^{s}B_{r}\,dr{\Big ]}\,ds.\end{aligned}}$

Convergence du développement

Dans le cadre stochastique, la convergence sera désormais soumise à un temps d'arrêt ${\textstyle \tau }$ et un premier résultat de convergence est donné par :

Sous l'hypothèse précédente sur les coefficients, il existe une solution forte ${\textstyle X=(X_{t})_{t\in [0,T]}}$, ainsi qu'un temps d'arrêt strictement positif ${\textstyle \tau \leq T}$ tel que :

1. ${\textstyle X_{t}}$ possède un logarithme réel ${\textstyle Y_{t}}$ jusqu'à l'heure ${\textstyle \tau }$, c'est-à-dire
   

   ${\displaystyle X_{t}=e^{Y_{t}},\qquad 0\leq t<\tau$ ;}

2. l'égalité suivante est vérifiée ${\textstyle \mathbb {P} }$ - presque certainement :
   

   $Y_{t}=\sum _{n=0}^{\infty }Y_{t}^{(n)},\qquad 0\leq t<\tau ,$
   
   
   
   

   où ${\textstyle Y^{(n)}}$ est le n-ième terme du développement stochastique de Magnus tel que défini ci-dessous dans la sous-section formule du développement de Magnus ;

3. il existe une constante positive C, qui ne dépend que de ${\textstyle \|A^{(1)}\|_{T},\dots ,\|A^{(q)}\|_{T},\|B\|_{T},T,d}$, avec ${\textstyle \|A_{\cdot }\|_{T}=\|\|A_{t}\|_{F}\|_{L^{\infty }(\Omega \times [0,T])}}$, telle que
   

   $\mathbb {P} (\tau \leq t)\leq Ct,\qquad t\in [0,T].$

Formule du développement de Magnus

La formule générale de développement de la série stochastique de Magnus est donnée par :

$Y_{t}=\sum _{n=0}^{\infty }Y_{t}^{(n)}\quad {\text{avec}}\quad Y_{t}^{(n)}:=\sum _{r=0}^{n}Y_{t}^{(r,n-r)},$

où le terme général ${\textstyle Y^{(r,n-r)}}$ est un processus d'Itô de la forme :

$Y_{t}^{(r,n-r)}=\int _{0}^{t}\mu _{s}^{r,n-r}ds+\int _{0}^{t}\sigma _{s}^{r,n-r,j}dW_{s}^{j},\qquad n\in \mathbb {N} _{0},\ r=0,\dots ,n,$

Les termes ${\textstyle \sigma ^{r,n-r,j},\mu ^{r,n-r}}$ sont définies récursivement comme

${\begin{aligned}\sigma _{s}^{r,n-r,j}&:=\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {\beta _{i}}{i!}}S_{s}^{r-1,n-r,i}{\big (}A^{(j)}{\big )},\\\mu _{s}^{r,n-r}&:=\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {\beta _{i}}{i!}}S_{s}^{r,n-r-1,i}(B)-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{q}\sum _{i=0}^{n-2}{\frac {\beta _{i}}{i!}}\sum _{q_{1}=2}^{r}\sum _{q_{2}=0}^{n-r}S^{r-q_{1},n-r-q_{2},i}{\big (}Q^{q_{1},q_{2},j}{\big )},\end{aligned}}$

Ces équations peuvent être interprétées comme suit : Ω₁(t) coïncide exactement avec l'exposant dans le cas scalaire ( n = 1), cependant dans ce cas, cette équation ne donne pas la solution complète. Si l'on souhaite une représentation exponentielle ( groupe de Lie ), l'exposant doit être corrigé. Le reste de la série de Magnus apporte cette correction de manière systématique : Ω, ou seulement des parties de celui-ci, appartiennent à l' algèbre de Lie du groupe de Lie de la solution.

${\begin{aligned}Q_{s}^{q_{1},q_{2},j}:=\sum _{i_{1}=2}^{q_{1}}\sum _{i_{2}=0}^{q_{2}}\sum _{h_{1}=1}^{i_{1}-1}\sum _{h_{2}=0}^{i_{2}}&\sum _{p_{1}=0}^{q_{1}-i_{1}}\sum _{{p_{2}}=0}^{q_{2}-i_{2}}\ \sum _{m_{1}=0}^{p_{1}+p_{2}}\ \sum _{{m_{2}}=0}^{q_{1}-i_{1}-p_{1}+q_{2}-i_{2}-p_{2}}\\&{\Bigg (}{{\frac {S_{s}^{p_{1},p_{2},m_{1}}{\big (}\sigma _{s}^{h_{1},h_{2},j}{\big )}}{({m_{1}}+1)!}}{\frac {S_{s}^{q_{1}-i_{1}-p_{1},q_{2}-i_{2}-p_{2},m_{2}}{\big (}\sigma _{s}^{i_{1}-h_{1},i_{2}-h_{2},j}{\big )}}{({m_{2}}+1)!}}}\\&\qquad \qquad +{\frac {{\big [}S_{s}^{p_{1},p_{2},m_{1}}{\big (}\sigma _{s}^{i_{1}-h_{1},i_{2}-h_{2},j}{\big )},S_{s}^{q_{1}-i_{1}-p_{1},q_{2}-i_{2}-p_{2},m_{2}}{\big (}\sigma _{s}^{h_{1},h_{2},j}{\big )}{\big ]}}{({m_{1}}+{m_{2}}+2)({m_{1}}+1)!{m_{2}}!}}{\Bigg )},\end{aligned}}$

avec

${\begin{aligned}S_{s}^{r-1,n-r,0}(A)&:={\begin{cases}A&{\text{si }}r=n=1,\\0&{\text{sinon}},\end{cases}}\\S_{s}^{r-1,n-r,i}(A)&:=\sum _{\begin{array}{c}(j_{1},k_{1}),\dots ,(j_{i},k_{i})\in \mathbb {N} _{0}^{2}\\j_{1}+\cdots +j_{i}=r-1\\k_{1}+\cdots +k_{i}=n-r\end{array}}{\big [}Y_{s}^{(j_{1},k_{1})},{\big [}\dots ,{\big [}Y_{s}^{(j_{i},k_{i})},A_{s}{\big ]}\dots {\big ]}{\big ]}\\&=\sum _{\begin{array}{c}(j_{1},k_{1}),\dots ,(j_{i},k_{i})\in \mathbb {N} _{0}^{2}\\j_{1}+\cdots +j_{i}=r-1\\k_{1}+\cdots k_{i}=n-r\end{array}}\operatorname {ad} _{Y_{s}^{(j_{1},k_{1})}}\circ \cdots \circ \operatorname {ad} _{Y_{s}^{(j_{i},k_{i})}}(A_{s}),\qquad i\in \mathbb {N} .\end{aligned}}$

Applications

Depuis les années 1960, le développement de Magnus a été appliqué comme outil perturbatif dans de nombreux domaines de la physique et de la chimie, de la physique atomique et moléculaire à la résonance magnétique nucléaire et à l'électrodynamique quantique . Il est également utilisé depuis 1998 pour construire des algorithmes pratiques d' intégration numérique d'équations différentielles linéaires matricielles. Comme le développement en série de Magnus préserve les propriétés qualitatives du problème, les schémas correspondants sont des exemples prototypiques d' intégrateurs numériques géométriques .

Voir aussi

• Formule de Baker-Campbell-Hausdorff
• Dérivée de la fonction exponentielle

Notes

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Magnus expansion » (voir la liste des auteurs).

Références

• (en) W. Magnus, « On the exponential solution of differential equations for a linear operator », Comm. Pure Appl. Math., vol. VII, n^o 4,‎ 1954, p. 649–673 (DOI 10.1002/cpa.3160070404)
• (en) S. Blanes, F. Casas, J.A. Oteo et J. Ros, « Magnus and Fer expansions for matrix differential equations: The convergence problem », J. Phys. A: Math. Gen., vol. 31, n^o 1,‎ 1998, p. 259–268 (DOI 10.1088/0305-4470/31/1/023, Bibcode 1998JPhA...31..259B)
• (en) A. Iserles et S. P. Nørsett, « On the solution of linear differential equations in Lie groups », Phil. Trans. R. Soc. Lond. A, vol. 357, n^o 1754,‎ 1999, p. 983–1019 (DOI 10.1098/rsta.1999.0362, Bibcode 1999RSPTA.357..983I, S2CID 90949835, CiteSeer^x 10.1.1.15.4614)
• (en) S. Blanes, F. Casas, J.A. Oteo et J. Ros, « The Magnus expansion and some of its applications », Phys. Rep., vol. 470, n^os 5–6,‎ 2009, p. 151–238 (DOI 10.1016/j.physrep.2008.11.001, Bibcode 2009PhR...470..151B, arXiv 0810.5488, S2CID 115177329)
• (en) K. Kamm, S. Pagliarani et A. Pascucci, « On the Stochastic Magnus Expansion and Its Application to SPDEs », Journal of Scientific Computing, vol. 89, n^o 3,‎ 2021, p. 56 (DOI 10.1007/s10915-021-01633-6, arXiv 2001.01098, S2CID 211259118)

Liens externes

• « Magnus expansions », sur YouTube, 25 décembre 2020 « Melvin Leok | Department of Mathematics » UCSD
• « Fer expansions », sur YouTube, 25 décembre 2020
• « Motivation for Magnus and Fer expansions », sur YouTube, 25 décembre 2020