Fonction logique coïncidence

Diagramme de Venn de $A\odot B$

Diagramme de Venn de la coïncidence à trois entrées, parfois notée $\bigodot (A,B,C)$ mais qui n'est pas la même chose que $A\odot B\odot C=(A\odot B)\odot C$ $=A\odot (B\odot C)$

Diagramme de Venn de $A\odot B\odot C=(A\odot B)\odot C$ $~\odot ~$ $~\Leftrightarrow ~$ $=A\odot (B\odot C)$ $~\odot ~$ $~\Leftrightarrow ~$ identique à $A\oplus B\oplus C$ $=(A\oplus B)\oplus C$ $~\oplus ~$ $~\Leftrightarrow ~$ $=A\oplus (B\oplus C)$ $~\odot ~$ $~\Leftrightarrow ~$

La fonction logique coïncidence, également NON-OU exclusif (en anglais, XNOR, pour eXclusive NOT OR) est un opérateur logique, à deux opérandes booléens, de l'algèbre de Boole. Elle est utilisée couramment en électronique et en informatique.

Cette fonction peut être aussi nommée "est identique". Elle correspond à l'opérateur équivalence logique.

Description

La fonction logique coïncidence ou NON-OU exclusif est aussi appelée fonction équivalence ou ET exclusif, dans l'algèbre de Boole. Elle peut être représentée par les deux signes NON et le OU exclusif, c'est-à-dire : « ¬ »« ⊻ » ou par un point (signe de multiplication) dans un cercle : « $\odot$ ».

C'est un opérateur booléen, à deux opérandes. Cette fonction retourne la valeur VRAI si, et seulement si, les deux opérandes ont la valeur VRAI ou la valeur FAUX. Il associe un résultat qui a lui-même la valeur VRAI seulement si les deux opérandes ont des valeurs identiques. Sinon, elle retourne la valeur FAUX. Les valeurs VRAI et FAUX peuvent être représenté par les valeurs binaires 1 et 0 (en anglais BIT pour Binary digit).

Table de vérité de la fonction NON-OU exclusif

Opérande 1	Opérande 2	Résultat		Opérande 1	Opérande 2	Résultat
a	b	¬(a ⊻ b)		a	b	$a\odot b$
FAUX	FAUX	VRAI		0	0	1
FAUX	VRAI	FAUX		0	1	0
VRAI	FAUX	FAUX		1	0	0
VRAI	VRAI	VRAI		1	1	1

La fonction logique NON-OU exclusif correspond aux équations suivantes :

$S=a\odot b={\overline {a\oplus b}}=a.b+{\overline {a}}.{\overline {b}}$

En informatique, cet opérateur peut s'utiliser pour combiner deux bits, valant chacun 0 ou 1, en appliquant les règles définies par la table précédente, le résultat étant lui-même la valeur d'un bit.

Quelques propriétés mathématiques

• $a\odot a=1$
• $a\odot 0={\bar {a}}$
• $a\odot 1=a$
• $a\odot {\bar {a}}=0$
• Commutativité $a\odot b=b\odot a$
• Associativité $a\odot (b\odot c)=(a\odot b)\odot c=a\odot b\odot c$ mais $\bigodot (a,b,c)\neq a\odot b\odot c$
• $a\odot b={\overline {a\oplus b}}$ et $a\odot b\odot c=a\oplus b\oplus c$ où $\oplus$ est le OU exclusif.
• $a\odot b=ab+{\overline {a}}\cdot {\overline {b}}$
• $a\odot b=0$ si et seulement si $a\neq b$

Illustration

L'illustration suivante explique la fonction logique NON-OU exclusif.

Les deux opérandes booléens, « a » et « b » et la fonction NON-OU exclusif, sont simulés par des doubles interrupteurs de type NO (normalement ouvert)/NF (normalement fermé). Le résultat de la fonction est simulé par une lampe.

Une lampe s'allume (résultat VRAI) si l'on appuie (ferme le circuit) sur « a » et « b » (valeurs VRAI) simultanément OU sur aucun des deux (valeurs FAUT), mais pas quand on appuie que sur un seul interrupteur.

Simulation de la fonction logique coïncidence

Chronogramme de la fonction logique Coïncidence

Symbole

Symbole européen

Symbole ANSI

Exemple d'utilisation

La fonction XNOR est utilisé dans les ordinateurs dans le décodage d'adresse^.

Application en électronique

Le circuit intégré TTL 747266 intègre quatre portes logiques du type NON-OU exclusif.

Application en électricité domestique

Une application utilisée des opérateurs logiques OU exclusif et NON-OU exclusif en électricité domestique est dans les salles où une ampoule peut être allumée ou éteinte par deux interrupteurs placés près de deux entrées. Chacun des deux interrupteurs peut soit allumer ou éteindre l'ampoule quelle que soit la position de l'autre interrupteur. Pour obtenir une telle fonctionnalité, on doit brancher les deux interrupteurs afin de former un opérateur XOR ou XNOR. C'est le montage dit « va-et-vient ».

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes

• Fonction logique
• Fonction logique OUI
• Fonction logique NON
• Fonction logique ET
• Fonction logique OU
• Fonction logique NON-ET
• Fonction logique NON-OU
• Fonction logique OU exclusif
• Équivalence logique (doublon plus complet)