Ellipse de sûreté

En balistique extérieure, pour des distances importantes du projectile, la notion d'ellipse de sûreté généralise celle de parabole de sûreté.

Description

On considère un modèle de Terre sphérique de centre T et une base B de lancement. On pose TB = R.

Un projectile balistique P est lancé de B avec la vitesse V₀ faisant l'angle $\alpha$ avec la verticale TB. Le module de V₀ est inférieur à la vitesse de libération (√2gR = 11,2 km/s sur Terre).

Lancé verticalement ($\alpha =0$), B atteint au maximum le point H d'altitude $z'$ telle que $1/z'=1/z-1/R$ avec $z={\tfrac {V_{0}^{2}}{2g}}$). Quand la hausse du canon varie, des points restent donc hors de portée : ils sont en sûreté en dehors d'une courbe (C), appelée de ce fait courbe de sûreté.

Cette courbe (C) est l'ellipse de foyers B et T, passant par H, ce qui définit entièrement (C).

Démonstration

Lieu des points de Torricelli :

• Soit une trajectoire issue de B : d'après les lois de Kepler, c'est une ellipse de foyer T, de grand axe donné ( $2a=-GMm/E_{0}$ avec $E_{0}=1/2mV^{2}-GMm/r$). Le deuxième foyer, F, de cette ellipse se trouve donc à la distance BF = 2a − R, sur la demi-droite issue de B faisant l'angle $2\alpha$ avec la verticale.
• Par ailleurs soit C, le point de Torricelli, tel que le segment BC soit corde focale : CF + CT = 2a ; donc CB + CT = 4a − R (= HB+HT).
• Quand la hausse du canon varie, la trajectoire varie, et l'ensemble des points C décrit la courbe (C) telle que : CB+CT = cste, c'est donc une ellipse, et c'est l'ellipse indiquée.

Montrons maintenant qu'une trajectoire (T) est tangente à la courbe (C) en C.

• Soit un point P intérieur à cette courbe : pour déterminer comment l'atteindre depuis B, il faut et il suffit de déterminer la position du deuxième foyer F : PF = 2a- PT est connu, donc F se trouve sur le cercle de centre P et rayon 2a − PT ; mais par ailleurs, ce foyer se trouve à la distance 2a − R de B : donc à l'intersection des deux cercles {P, 2a − PT} et {B, 2a − R} : il y a donc deux possibilités : la trajectoire tendue et la trajectoire de mortier.
• La situation limite est celle où les deux cercles sont tangents : BFP sont en ligne droite ; il n'y a plus qu'une solution double ; donc BP est corde focale ; P est en C : C est ainsi le point de contact (de tangence en fait) de la trajectoire avec la courbe de sûreté (C).

Vitesses cosmiques

En particulier, dès que V₀ dépasse √gR (= 8,2 km/s sur Terre), l'ellipse (C) enclot la Terre entière : cette vitesse critique, annonciatrice de la guerre froide et de ses missiles balistiques intercontinentaux, fut redoutée dès la fin de la Seconde Guerre mondiale et fut appelée première vitesse cosmique ; la vitesse de libération s'appelle deuxième vitesse cosmique. La vitesse de libération du Système Solaire s'appelle la troisième vitesse cosmique (environ 17 km/s pour le Système solaire).

Tous ces résultats sont présentés sans tenir compte de l'existence d'une atmosphère.

Si V₀ est petit devant √gR, l'ellipse de sûreté se réduit au cas plus simple de la parabole de sûreté.

Voir aussi

• balistique extérieure (bibliographie détaillée)
• parabole de sûreté
• fusée