Ensemble totalement ordonné

En mathématiques, un ensemble totalement ordonné est un ensemble ordonné dans lequel deux éléments quelconques sont toujours comparables.

Définition

Soit $E$ un ensemble muni d'une relation d'ordre $\preceq$. Toute relation d'ordre $\preceq \,$ vérifie les propriétés suivantes :

• (réflexivité) $\forall x,\ x\preceq x$ ;
• (transitivité) $\forall x,y,z,\ {\bigl (}x\preceq y\mathrm {\ et\ } y\preceq z{\bigr )}\Rightarrow x\preceq z$ ;
• (antisymétrie) $\forall x,y,\ {\bigl (}x\preceq y\mathrm {\ et\ } y\preceq x{\bigr )}\Rightarrow x=y$.

$(E,\preceq )$ est un ensemble totalement ordonné si, en outre, tous les éléments de $(E,\preceq )$ sont comparables pour $\preceq$ :

• $\forall x,y,\ {\bigl (}x\preceq y\mathrm {\ ou\ } y\preceq x{\bigr )}$.

Exemples

1. L'ensemble $E={\bigl \{}\ \emptyset ,\ \{1\},\ \{2\},\ \{1,2\}{\bigr \}}$ des parties de $\{1,2\}$ est ordonné par la relation d'inclusion. Cependant, $E$ n'est pas totalement ordonné : $\{1\}$ et $\{2\}$ ne sont pas comparables au sens de l'inclusion.
2. L'ensemble $\mathbb {R} \,$ des nombres réels muni de la relation d'ordre usuelle $\leq$ est totalement ordonné.