Enveloppe de Snell

L'enveloppe de Snell, utilisée en calcul stochastique et en mathématiques financières, est la plus petite sur-martingale majorant un processus stochastique. Le nom de l'enveloppe de Snell provient du mathématicien James Laurie Snell (en).

Définition

Étant donné un espace probabilisé filtré $(Ω, ℱ, (ℱ_{t})_{t \in [0, T]}, ℙ)$ et une mesure de probabilité absolument continue $ℚ ≪ ℙ$ alors un processus adapté $U = (U_{t})_{t \in [0, T]}$ est l'enveloppe de Snell (sous la mesure $ℚ$ ) du processus $X = (X_{t})_{t \in [0, T]}$ si

$U$ est une $ℚ$ -sur-martingale
$U$ majore $X$ , c.-à-d. $U_{t} \geq X_{t}$ $ℚ$ -presque sûrement pour tout $t \in [0, T]$
Si $V = (V_{t})_{t \in [0, T]}$ est une $ℚ$ -sur-martingale qui majore $X$ , alors $V$ majore $U$ ^[1].

Construction en temps discret

Étant donné $(Ω, ℱ, (ℱ_{n})_{n = 0}^{N}, ℙ)$ et $ℚ$ comme ci-dessus, l'enveloppe de Snell $(U_{n})_{n = 0}^{N}$ (sous la mesure $ℚ$ ) du processus $(X_{n})_{n = 0}^{N}$ est donnée par l'algorithme descendant récursif

U_{N} := X_{N},

U_{n} := X_{n} \lor 𝔼^{ℚ} [U_{n + 1} ∣ ℱ_{n}]

pour

n = N - 1, \dots, 0

où $\lor$ est le max^[1].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Snell envelope » (voir la liste des auteurs).

1 2 (en) Hans Föllmer et Alexander Schied, Stochastic Finance : An Introduction in Discrete Time, Walter de Gruyter, 2004, 2^e éd., 459 p. (ISBN 978-3-11-018346-7), p. 280-282.

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[FollmerSchied-1] 1 2 (en) Hans Föllmer et Alexander Schied, Stochastic Finance : An Introduction in Discrete Time, Walter de Gruyter, 2004, 2^e éd., 459 p. (ISBN 978-3-11-018346-7), p. 280-282.

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