Espace de Berkovich

En mathématiques, et plus précisément en géométrie analytique non archimédienne, les espaces de Berkovich sont des espaces topologiques munis d'une structure supplémentaire qui en fait notamment des espaces localement annelés. Introduits par Vladimir Berkovitch en 1990, ils sont munis d'un foncteur d'analytification qui à un schéma $X$ sur un corps $k$ muni d'une valeur absolue ultramétrique $|\cdot |$ associe son analytifié de Berkovich $X^{\mathrm {an} }$, qui est un espace de Berkovich. Cette construction est analogue au foncteur d'analytification en géométrie complexe ; cependant, contrairement à celle-ci, l'ensemble sous-jacent à l'analytifié de Berkovich n'est pas l'ensemble des points rationnels du schéma, ni l'ensemble de ses points fermés. De même que la géométrie rigide analytique (en) introduite par John Tate, cette modification de la construction vise à corriger ses pathologies. Cependant, contrairement à ce qui se passe pour la géométrie rigide, l'analytifié de Berkovich d'une variété est séparé, connexe par arcs et localement contractile, ce qui en fait un espace topologique sur lequel les outils classiques de la topologie algébrique s'appliquent.

Contexte

Soit $(k,|\cdot |)$ un corps valué, c'est-à-dire que $k$ est un corps et que $|\cdot |:k^{\times }\to \mathbb {R} _{+}^{*}$ est un morphisme de groupes pour le produit, que l'on prolonge par convention en $|0|=0$, avec de plus la propriété que $|\cdot |$ est ultramétrique, c'est-à-dire $|a+b|\leq \max(|a|,|b|)$ pour tous $a,b\in k.$ Par exemple, $(k,|\cdot |)$ peut être le corps des nombres rationnels ou des nombres p-adiques muni de la valuation p-adique, le corps des séries de Laurent, ou encore un corps arbitraire muni de la valuation triviale donnée par $|a|=1$ pour tout $a\in k^{\times }.$

On suppose de plus que $k$ est complet.

Approche naïve de l'analytification

En géométrie analytique complexe, une variété est un couple $(X,{\mathcal {F}})$, où $X$ est un espace topologique et ${\mathcal {F}}$ un faisceau d'anneaux sur $X$ qui vérifient certaines propriétés. Le faisceau ${\mathcal {F}}$ est appelé faisceau des fonctions analytiques sur $X$. Par hypothèse, il existe un recouvrement de l'espace toplogique $X$ par des ouverts $(U_{i})_{i\in I}$ tels que, pour tout $i\in I$, il existe un plongement $U_{i}\to \mathbb {C} ^{n_{i}}$ (pour un certain entier $n_{i}$) dont l'image est un fermé $V_{i}$ qui est localement le lieu d'annulation de certaines fonctions holomorphes ; de plus, le poussé-en-avant du faisceau ${\mathcal {O}}_{|U_{i}}$est le faisceau des fonctions holomorphes sur $V_{i}$. En particulier, les sections globales de ${\mathcal {F}}$ sont les fonctions localement développables en série entière.

Le but de la géométrie analytique non archimédienne est de permettre sur les corps non archimédiens le développement d'une théorie analogue à la géométrie analytique complexe. Cependant, s'il est bien possible de réécrire les définitions dans ce cas, le résultat présente des propriétés qui sont loin du comportement souhaité, en raison du fait que la topologie de $k$ induite par la valuation est totalement discontinue. Par exemple, la fonction indicatrice de la boule unité est localement développable en série entière, car elle est même localement constante. Dans la théorie naïve décrite ci-dessus, elle devrait donc être globalement analytique, or "elle ne saurait, en aucun sens raisonnable, être considérée comme globalement analytique".

Définition

Spectre de Berkovich d'une algèbre de Banach

Une semi-norme multiplicative sur une k-algèbre (commutative) $A$ est une application $\nu :A\to \mathbb {R} _{+}$ qui vérifie les propriétés suivantes :

1. (multiplicativité) $\nu (a\cdot b)\leq \nu (a)\cdot \nu (b)$ pour tous $a,b\in A$ ;
2. (inégalité ultramétrique) $\nu (a+b)\leq \max\{\nu (a),\nu (b)\}$ pour tous $a,b\in A$ ;
3. (compatibilité à $k$) $\nu (a)=|a|$ pour tout $a\in k$

Si $A$ est de plus muni d'une norme (sous-multiplicative) d'algèbre de Banach notée $N$, on dit que $\nu$ est bornée si elle est continue pour la topologie induite par $N$, ou de façon équivalente si elle est majorée sur la boule unité, ou encore si elle est majorée par $1$ sur la boule unité. On note alors ${\mathcal {M}}(A)$ l'ensemble des semi-normes multiplicatives bornées sur $A$, appelé spectre de Berkovich de $(A,N)$.

L'ensemble ${\mathcal {M}}(A)$ est muni d'un plongement vers l'ensemble $\mathbb {R} ^{A}$ des fonctions $A\to \mathbb {R}$. Cet ensemble étant un espace topologique pour la topologie produit, ${\mathcal {M}}(A)$ est lui aussi un espace topologique pour la topologie induite. De façon équivalente, on munit ${\mathcal {M}}(A)$ de la topologie la plus grossière pour laquelle toutes les applications d'évaluation $\mathrm {ev} _{a}:\nu \in {\mathcal {M}}(A)\mapsto \nu (a)\in \mathbb {R}$ sont continues.

De plus,

Espaces affinoïdes et espaces de Berkovich

Soient $n\in \mathbb {N}$ un entier naturel et $r_{1},\dots ,r_{n}$ des réels strictement positifs. Notons $\mathbb {D} =\prod _{i=1}^{n}B(0,r_{i})$ le polydisque centré en $0$ de polyrayon $r=(r_{1},\dots ,r_{n})$, où $B(x,r)$ est la boule ouverte de centre $x$ et de rayon $r$. On définit alors $k\{r^{-1}T\}=k\{r_{1}^{-1}T_{1},\dots ,r_{n}^{-1}T_{n}\}$ la $k$-algèbre affinoïde des séries convergentes sur $\mathbb {D}$ comme étant l'ensemble des séries formelles $\sum _{i=(i_{1},\dots ,i_{n})}a_{i}T^{i}\in k[[T]]$ telles que $\lim _{|i|\to +\infty }|a_{i}|r^{i}=0$, où on a utilisé les notations multi-indices $T=(T_{1},\dots ,T_{n}),$ $r^{i}=r_{1}^{i_{1}}\dots r_{n}^{i_{n}}$ et $|i|=i_{1}+\dots +i_{n}$. Il s'agit de l'ensemble des séries formelles qui convergent en tout point de $\mathbb {D}$ dans toute extension de $k$. On munit de plus $k\{r^{-1}T\}$ de la norme $N(\sum _{i\in \mathbb {N} ^{n}}a_{i}T^{i})=\sup _{i\in \mathbb {N} ^{n}}|a_{i}|r^{i}$, qui en fait une $k$-algèbre de Banach (en particulier, complète). De plus, cette algèbre est noethérienne et ses idéaux sont fermés.

On dit alors qu'une $k$-algèbre de Banach $A$ est $k$-affinoïde s'il existe un entier $n\in \mathbb {N}$, un polyrayon $r$ et un idéal $I$ de $k\{r^{-1}T\}$ tel que $A$ soit isomorphe à $k\{r^{-1}T\}/I$ en tant qu'algèbres de Banach. Dans ce cas, son spectre de Berkovich ${\mathcal {M}}(A)$ est appelé un espace $k$-affinoïde.

Ces espaces affinoïdes sont les espaces de base pour la définition générale d'un espace de Berkovich. Plus précisément, un espace de Berkovich général est un espace topologique localement compact et localement connexe par arcs qui s'écrit comme un recollement de spectres d'espaces affinoïdes, sujets à certaines conditions. Comme dans le cas d'un schéma, la donnée de ce recollement fait en quelque sorte partie de la donnée de l'espace, et le munit notamment d'un faisceau en anneaux.

Foncteur d'analytification de Berkovich

À toute variété algébrique $X$ sur le corps $k$ correspond un espace de Berkovich $X^{\mathrm {an} }$, appelé son analytifié de Berkovich. Celui-ci présente la propriété que, si $X$ est une variété affine spectre d'une $k$-algèbre $A$, alors l'espace topologique sous-jacent à $X^{\mathrm {an} }$ est l'ensemble des semi-normes multiplicatives $A\to \mathbb {R} _{+}$, avec la topologie décrite plus haut.

Propriétés

Un espace de Berkovich est localement compact et localement connexe par arcs, ainsi que de dimension topologique finie s'il est compact. Sous certaines hypothèses, il est même localement contractile.

Approche alternative par les types stablement dominés

Ehud Hrushovski et François Loeser ont proposé une approche alternative pour les espaces de Berkovich, via la théorie des modèles. Cette approche consiste à voir plutôt l'espace de Berkovich comme une partie de l'espace des types, munie d'une certaine topologie qui n'est pas la topologie usuelle. Elle a permis d'importantes avancées concernant le type d'homotopie des espaces de Berkovich.

Approches alternatives

D'autres notions d'espaces analytiques en géométrie non archimédienne existent. Il s'agit notamment de la géométrie rigide (en), introduite par John Tate dans les années 1960, de la théorie de Raynaud, des espaces adiques de Huber ou des espaces de Riemann-Zariski développés par Fujiwara et Kato.

Applications

La théorie de Berkovich permet notamment de disposer dans le contexte de la géométrie analytique non archimédienne d'une cohomologie étale, qui présente d'importantes similitudes avec la cohomologie étale en géométrie algébrique. Elle possède également de nombreuses interactions avec la géométrie torique. Elle s'applique aussi à la théorie des immeubles de Bruhat-Tits, dans le domaine des groupes algébriques, ainsi qu'à l'étude des systèmes dynamiques.

Bibliographie

• (en) Omid Amini, Matthew Baker et Xander Faber, Tropical and Non-Archimedean Geometry [« Géométrie tropicale et non archimédienne »], American Mathematical Society et Centre de recherches mathématiques, coll. « Contemporary Mathematics » (n^o 605), 2013 (DOI doi.org/10.1090/conm/605)
• (en) Vladimir Berkovich, Spectral theory and analytic geometry over non-Archimedean fields, Providence, Rhode Island, American Mathematical Society (n^o 33), 1990
• (en) Vladimir Berkovich, « Étale cohomology for non-Archimedean analytic spaces », Publications mathématiques de l'I.H.É.S., vol. 78,‎ 1994, p. 5-161
• Antoine Ducros, « Espaces analytiques p-adiques au sens de Berkovich : Exposé n°958 », dans Séminaire Bourbaki, Volume 2005/2006, Exposés 952-966, Société mathématique de France, 2006 (ISBN 978-2-85629-230-3, lire en ligne)
• Antoine Ducros, « Les espaces de Berkovich sont modérées [d'après Ehud Hrushovski et François Loeser] : Exposé n°1056 », dans Séminaire Bourbaki, Volume 2011/2012, Exposés 1043-1058, Société mathématique de France, 2012 (ISBN 978-2-85629-371-3, lire en ligne)
• (en) Antoine Ducros, Charles Favre et Johannes Nicaise, Berkovich Spaces and Applications, Springer, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (n^o 2119), 2015 (ISBN 978-3-319-11028-8)
• (en) Ehud Hrushovski et François Loeser, « Non-Archimedean Tame Topology and Stably Dominated Types », Annals of Mathematical Studies, Princeton University Press,‎ 2016
• Jérôme Poineau, La droite de Berkovich sur Z, Société mathématique de France (n^o 334), 2010 (ISBN 978-2-85629-294-5)