Espace de Lorentz

En mathématiques, un espace de Lorentz, noté $L^{p,q}$ est une généralisation de la notion d'espace de Lebesgue (notés $L^{p}$).

Comme les espaces $L^{p}$, un espace de Lorentz est caractérisé par sa norme (techniquement une quasi-norme) qui encode des informations sur la masse d'une fonction, de manière analogue à la norme $L^{p}$. La norme de Lorentz offre un contrôle plus strict sur les deux composantes qui forment la masse d'une fonction (son étendue et sa norme ponctuelle) que les normes $L^{p}$. La norme de Lorentz est invariante sous des réarrangements arbitraires des valeurs d'une fonction.

Définition

Par une quasi-norme

L'espace de Lorentz sur un espace mesurable $(X,\mu )$ est défini l'espace des fonctions mesurables à valeurs complexes $f$ sur $X$ tel que la quasinorme suivante soit finie

$\|f\|_{L^{p,q}(X,\mu )}=p^{\frac {1}{q}}\left\|t\mu \{|f|\geq t\}^{\frac {1}{p}}\right\|_{L^{q}\left(\mathbf {R} ^{+},{\frac {dt}{t}}\right)}$

où $0<p<\infty$ et $0<q\leq \infty$ . Ainsi, lorsque $q<\infty$

$\|f\|_{L^{p,q}(X,\mu )}=p^{\frac {1}{q}}\left(\int _{0}^{\infty }t^{q}\mu \left\{x:|f(x)|\geq t\right\}^{\frac {q}{p}}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}=\left(\int _{0}^{\infty }{\bigl (}\tau \mu \left\{x:|f(x)|^{p}\geq \tau \right\}{\bigr )}^{\frac {q}{p}}\,{\frac {d\tau }{\tau }}\right)^{\frac {1}{q}}.$

et quand $q=\infty$ ,

$\|f\|_{L^{p,\infty }(X,\mu )}^{p}=\sup _{t>0}\left(t^{p}\mu \left\{x:|f(x)|>t\right\}\right).$

Il est également classique de fixer $L^{\infty ,\infty }(X,\mu )=L^{\infty }(X,\mu )$ .

Par le réarrangement décroissant

La quasinorme de Lorentz est invariante par réarrangement des valeurs de la fonction $f$. En particulier, étant donné une fonction mesurable à valeurs complexes $f$ définie sur un espace mesurable, $(X,\mu )$, son réarrangement décroissant, $f^{\ast }:[0,\infty [\to [0,\infty ]$ est défini par

$f^{\ast }(t)=\inf\{\alpha \geq 0:\mu _{f}(\alpha )\leq t\}$

où $d_{f}$ est la fonction de distribution de $f$, donnée par

$\mu _{f}(\alpha )=\mu (\{x\in X:|f(x)|>\alpha \})$,

Les deux fonctions $|f|$ et $f^{\ast }$ sont équimesurables, c'est-à-dire que$\mu {\bigl (}\{x\in X:|f(x)|>\alpha \}{\bigr )}=\lambda {\bigl (}\{t>0:f^{\ast }(t)>\alpha \}{\bigr )},\quad \alpha >0,$

où $\lambda$ est la mesure de Lebesgue sur $\mathbb {R}$. Le réarrangement symétrique décroissant associé, qui est également équimesurable avec $f$, est défini par $\mathbb {R} \ni t\mapsto {\tfrac {1}{2}}f^{\ast }(|t|).$

Compte tenu de ces définitions, pour $0<p<\infty$ et $0<q\leq \infty$, les quasinormes de Lorentz sont données par

$\|f\|_{L^{p,q}}={\begin{cases}\left(\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left(t^{\frac {1}{p}}f^{\ast }(t)\right)^{q}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}&q\in (0,\infty ),\\\sup \limits _{t>0}\,t^{\frac {1}{p}}f^{\ast }(t)&q=\infty .\end{cases}}$

Structure

Espace d'interpolation

Les espaces de Lorentz généralisent la notion d'espace $L^{p}$ au sens où, pour tout $p$, $L^{p,p}=L^{p}$. De plus, l'espace $L^{p,\infty }$ coïncide avec l'espace $L^{p}$ faible (espace de Marcinkiewicz). Ce sont des espaces quasi-Banach (c'est-à-dire des espaces quasi-normés qui sont aussi complets) et sont normables pour $1<p<\infty$ et $1\leq q\leq \infty$ . Lorsque $p=1$, $L^{1,1}=L^{1}$ est muni d'une norme, mais il n'est pas possible de définir une norme équivalente à la quasi-norme de $L^{1,\infty }$. En effet, si l'on définit les fonctions $f$ et $g$

$f(x)={\tfrac {1}{x}}\chi _{(0,1)}(x)\quad {\text{et}}\quad g(x)={\tfrac {1}{1-x}}\chi _{(0,1)}(x),$

dont la quasi-norme $L^{1,\infty }$ vaut 1, alors que la quasi-norme de leur somme $f+g$ vaut 4.

L'espace $L^{p,q}$ est inclus dans $L^{p,r}$ dès que $q<r$ . Les espaces de Lorentz sont des espaces d'interpolation entre $L^{1}$ et $L^{\infty }$ .

Espace dual

Si $(X,\mu )$ est un espace de mesure σ-fini non atomique, alors

1. $(L^{p,q})^{*}=\{0\}$ pour $0<p<1$, ou $1=p<q<\infty$ ;
2. $(L^{p,q})^{*}=L^{p',q'}$ pour $1<p<\infty ,0<q\leq \infty$, ou $0<q\leq p=1$ ;
3. $(L^{p,\infty })^{*}\neq \{0\}$ pour $1\leq p\leq \infty$.

où $p'$ et $q'$ sont les exposants conjugués de $p$ et $q$. On a par exemple $p'=p/(p-1)$ pour $1<p<\infty$, $p'=\infty$ pour $0<p\leq 1$, et $\infty '=1$ .

Propriétés

Inégalité de Hölder

$\|fg\|_{L^{p,q}}\leq A_{p_{1},p_{2},q_{1},q_{2}}\|f\|_{L^{p_{1},q_{1}}}\|g\|_{L^{p_{2},q_{2}}}$ où $0<p,p_{1},p_{2}<\infty$, $0<q,q_{1},q_{2}\leq \infty$, $1/p=1/p_{1}+1/p_{2}$, et $1/q=1/q_{1}+1/q_{2}$ .

Caractérisation dyadique

Les éléments suivants sont équivalents pour $0<p\leq \infty ,1\leq q\leq \infty$ .

1. $\|f\|_{L^{p,q}}\leq A_{p,q}C$ .
2. $f=\textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }f_{n}$ où $f_{n}$ a un support disjoint avec la mesure $\leq 2^{n}$, $0\leq H_{n+1}\leq |f_{n}|\leq H_{n}$ presque partout dans le support de $f_{n}$, et $\|H_{n}2^{n/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C$ .
3. $|f|\leq \textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }H_{n}\chi _{E_{n}}$ presque partout où $\mu (E_{n})\leq A_{p,q}'2^{n}$ et $\|H_{n}2^{n/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C$ .

Articles connexes

• Espace d'interpolation
• Inégalité de Hardy-Littlewood