Topologie de Sierpiński

La topologie de Sierpiński, définie sur l'ensemble {0, 1}, est celle dont les ouverts sont ∅, {1} et {0, 1}.

Propriétés

• Toute suite à valeurs dans cet espace est convergente de limite 0. Elle converge aussi vers 1 si et seulement si elle stationne à 1.

Démonstration

Toute suite à valeurs dans {0, 1} est à valeurs dans le seul voisinage de 0 donc tend vers 0.

Elle tend aussi vers 1 si et seulement si ses termes appartiennent, à partir d'un certain rang, au voisinage {1} de 1.

• Cet espace est T₀ mais pas T₁.
• La fonction indicatrice d'une partie d'un espace topologique X est continue de X dans l'espace de Sierpiński si et seulement si cette partie est ouverte.