Espace de Thom

En topologie, l'espace de Thom est un espace topologique associé à un fibré vectoriel. Il est au cœur de plusieurs constructions homotopiques, parmi lesquelles la construction de Thom-Pontrjagin et le spectre (en) de Thom.

Il porte le nom de René Thom, qui a introduit ces constructions en 1954^[1].

Construction

Soit $η$ un fibré vectoriel de rang k sur un espace topologique $X$ . Notons $E (η)$ l'espace total de ce fibré. Si l'on munit les fibres de $η$ d'un produit scalaire, on peut définir les fibrations en boules et en sphères associées :

$D (η) = {v \in E (η) | ‖ v ‖ \leq 1}$ et $S (η) = {v \in E (η) | ‖ v ‖ = 1}$ .

La restriction de $η$ à ces deux espaces topologiques définit naturellement une fibration en boules $B^{k}$ et en sphères $S^{k - 1}$ , respectivement. On vérifie facilement qu'à isomorphisme près, ces deux fibrations ne dépendent pas du choix initial d'un produit scalaire et sont donc naturellement associées à $η$ .

L'espace de Thom $T (η)$ du fibré $η$ est alors simplement le quotient $D (η) / S (η)$ . En d'autres termes, on obtient $T (η)$ à partir du fibré en boules $D (η)$ en identifiant tous les points de $S (η)$ . De manière équivalente, $T (η)$ est le compactifié d'Alexandroff de l'espace total $E (η)$ .

Note

↑ R. Thom, « Quelques propriétés globales des variétés différentiables] », Comm. Math. Helv., vol. 28,‎ 1954, p. 17–86, lien Math Reviews.

Articles connexes

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[1] R. Thom, « Quelques propriétés globales des variétés différentiables] », Comm. Math. Helv., vol. 28,‎ 1954, p. 17–86, lien Math Reviews.

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