Espace extrêmement discontinu
En mathématiques, un espace extrêmement discontinu est un espace topologique dans lequel l'adhérence d'un ouvert est ouverte.
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Un espace extrêmement discontinu qui est de plus compact est parfois appelé un espace Stonéen . C'est un cas particulier d'espace Stone, qui est un espace compact totalement discontinu. Dans la dualité entre espaces de Stone et les algèbres de Boole , les espaces Stonéen correspondent aux algèbres booléennes complètes .
Exemples et contre-exemples
modifier- Tout espace discret est extrêmement discontinu.
- Le compactifié de Stone-Čech d’un espace discret est extrêmement discontinu.
- Le spectre d’une algèbre de von Neumann abélienne est extrêmement discontinu.
- Tout espace infini muni de la topologie cofinie est en même temps extrêmement discontinu et connexe . Plus généralement, tout espace irréductible est extrêmement discontinu.
- L'espace sur trois points dont la topologie est engendrée par fournit un exemple fini d’un espace à la fois extrêmement discontinu et connexe. Un autre exemple est donné par l' espace de Sierpinski, puisqu'il est fini, connexe et irréductible.
- L'ensemble de Cantor n'est pas extrêmement discontinu, bien qu'il soit totalement discontinu.
Caractérisations
modifierLes objets projectifs de la catégorie des espaces compacts sont exactement les espaces compacts extrêmement discontinus[1].
Un espace compact est extrêmement discontinu si et seulement si c'est un retract du compactifié de Stone-Čech d'un espace discret [2].
Voir aussi
modifierNotes et références
modifier- (en) Andrew Gleason, « Projective topological spaces », Illinois Journal of Mathematics, vol. 2, no 4A, , p. 482–489 (DOI 10.1215/ijm/1255454110, MR 0121775).
- (en) Zbigniew Semadeni, Banach spaces of continuous functions. Vol. I, PWN---Polish Scientific Publishers, Warsaw, (MR 0296671) (Thm. 24.7.1).
- A. V. Arkhangelskii, "Extremally-disconnected space", Encyclopædia_of_Mathematics, EMS Press
- (en) Peter T. Johnstone (en), Stone spaces, Cambridge University Press, 1982, rééd. 1986
- John Rainwater, « A Note on Projective Resolutions », Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 10, no 5, , p. 734–735 (DOI 10.2307/2033466, JSTOR 2033466)
