Extension de groupes
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En mathématiques, plus précisément en théorie des groupes, une extension de groupes est une manière de décrire un groupe en termes de deux groupes « plus petits ». Plus précisément, une extension d'un groupe Q par un groupe N est un groupe G qui s'insère dans une suite exacte courte
Autrement dit : G est une extension de Q par N[1] si (à isomorphismes près) N est un sous-groupe normal de G et Q est le groupe quotient G/N.
Notions associées
modifier- L'extension est dite centrale si N est inclus dans le centre de G.
- L'extension triviale de Q par N est celle qui correspond au produit direct N×Q.
- Une scission de l'extension
est un morphisme L'extension est alors dite scindée. Les extensions scindées de Q par N sont celles qui correspondent aux produits semi-directs . Les groupes Q dont toutes les extensions sont scindées sont les groupes libres[2]. - Un morphisme d'extensions
est un morphisme tel que le diagramme associé commute, c'est-à-dire tel que D'après le lemme des cinq court (en), un tel morphisme est toujours un isomorphisme.
Notes et références
modifier- C'est cette convention sur les deux prépositions « de » et « par » qui est choisie dans :
- N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, chap. I, § 6,
- (en) I. Martin Isaacs (en), Finite Group Theory, AMS, (lire en ligne), p. 66 et
- (de) Otto Schreier, « Über die Erweiterung von Gruppen I », Monatshefte für Mathematik und Physik, vol. 34, , p. 165-180.
- Jean Fresnel, Groupes, Hermann, 2001, p. 19 ;
- (en) William R. Scott, Group Theory, Dover, (1re éd. 1964) (lire en ligne), p. 210 ;
- (en) John S. Rose, A Course on Group Theory, Dover, 1994 (réimpr.), p. 202 ;
- (en) Joseph J. Rotman (en), An Introduction to the Theory of Groups, Springer, 1999 (tirage corrigé), 4e éd. [détail de l’édition] (lire en ligne), p. 154 et
- (en) Derek J. S. Robinson (de), A Course in the Theory of Groups, Springer, coll. « GTM » (no 80), , 2e éd. (lire en ligne), p. 68.
- (en) Derek J. S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, Springer, coll. « GTM » (no 80), (lire en ligne), p. 312, exercice 11.1.3.