Faisceau (de modules)

En mathématique, un faisceau de modules est un faisceau sur un espace localement annelé $(X,O_{X})$ qui possède une structure de module sur le faisceau structural $O_{X}$.

Définition

Sur un espace localement annelé $(X,O_{X})$, un faisceau de $O_{X}$-modules (ou un $O_{X}$-Module) est un faisceau $F$ sur $X$ tel que $F(U)$ soit un $O_{X}(U)$-module pour tout ouvert $U$, et que pour tout ouvert $V$ contenu dans $U$, l'application restriction $F(U)\to F(V)$ soit compatible avec les structures de modules: pour tous $a\in O_{X}(U),f\in F(U)$, on a

$(af)|_{V}=a|_{V}f|_{V}$.

Les notions de sous-$O_{X}$-modules et de morphismes de $O_{X}$-modules sont claires.

Exemples

• Le faisceau structural $O_{X}$ est un faisceau de $O_{X}$-modules. Les sous-modules de $O_{X}$ sont des faisceaux d'idéaux de $O_{X}$.
• Si $f:F\to G$ est un morphisme de faisceaux de $O_{X}$-modules, alors le noyau, l'image et le conoyau de $f$ sont des faisceaux de $O_{X}$-modules. Le quotient de $G$ par un

sous-$O_{X}$-Module est un $O_{X}$-Module.

• Si $I$ est un ensemble d'indice, la somme directe $O_{X}^{(I)}$ est définie sur chaque ouvert $U$ comme étant $O_{X}(U)^{(I)}$, la somme directe de copies de $O_{X}(U)$ indexées par $I$. C'est un faisceau de $O_{X}$-modules libre. Un faisceau de $O_{X}$-modules $F$ est dit localement libre (de rang $r$) si tout point de $X$ possède un voisinage ouvert sur lequel $F$ est libre (de rang $r$).
• Si $F,G$ sont des faisceaux de $O_{X}$-modules, on définit le faisceau des morphismes de $F$ dans $G$ par$U\mapsto Hom_{O_{X}(U)}(F(U),G(U))$(le $O_{X}(U)$-module des applications linéaires $F(U)\to G(U)$). Le dual de $F$ est le faisceau des morphismes de $F$ dans $O_{X}$.
• Le faisceau associé au préfaisceau $U\to F(U)\otimes _{O_{X}(U)}G(U)$ est noté $F\otimes _{O_{X}}G$. Ses germes en $x$ est canoniquement isomorphe à $F_{x}\otimes _{O_{X,x}}G_{x}$.
• Soit $g:X\to Y$ un morphisme d'espaces localement annelés. Soit $F$ un faisceau de $O_{X}$-modules. Alors l'image directe $g_{*}F$ est un faisceau de $O_{Y}$-module.
• Soit $G$ un faisceau de $O_{Y}$-modules. On définit l'image réciproque $g^{*}G$ (à distinguer de l'image réciproque $g^{-1}G$) comme étant le produit tensoriel $g^{-1}G\otimes _{g^{-1}(O_{Y})}O_{X}$. On a $(g^{*}G)_{x}$ isomorphe à $G_{f(x)}\otimes _{O_{Y,f(x)}}O_{X,x}$ pour tout $x$ dans $X$.

Faisceaux quasi-cohérents

On dit qu'un faisceau de $O_{X}$-modules $F$ est engendré par ses sections globales si pour tout point $x$ de $X$, l'image de l'homomorphisme canonique $F(X)\to F_{x}$ engendre $F_{x}$ comme $O_{X,x}$-module. Cela équivaut à dire qu'il existe un morphisme surjectif de faisceaux de $O_{X}$-modules $L\to F$, où $L$ est un faisceau de $O_{X}$-modules libre.

On dit que $F$ est quasi-cohérent si tout point de $X$ possède un voisinage ouvert dans lequel $F$ est un quotient d'un faisceau de $O_{X}$-module libre. Cela veut dire donc que tout point $x$ possède un voisinage ouvert $V$ tel que $F|_{V}$ soit engendré par ses sections $F(V)$.

Faisceaux cohérents

On dit que $F$ est cohérent (en) si tout point $x$ de $X$ possède un voisinage $V$ tel que $F|_{V}$ soit quotient d'un faisceau de $O_{V}$-modules libre de rang fini (on dit alors que $F$ est de type fini) et si pour tout ouvert $U$ et pour tout morphisme $O_{U}^{r}\to F|_{U}$, le noyau est de type fini.

Référence bibliographique

A. Grothendieck et J. Dieudonné, Éléments de géométrie algébrique, chap. 0, § 4-5