Famille presque nulle

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

En mathématiques, une famille presque nulle est une famille de nombres réels ou complexes telle que la sous-famille de ses termes non nuls est finie.

En particulier, une suite presque nulle est une suite dont tous les termes sont nuls à partir d'un certain rang.

Applications

La notion de famille presque nulle est souvent combinée à l'utilisation des symboles somme et produit indexés par des ensembles infinis. Cela garantit que l'expression obtenue ne contient qu'un nombre fini de termes non-triviaux, et donc que le résultat est bien défini. Par exemple :

la décomposition en produit de nombres premiers d'un entier naturel n s'écrit $n = \prod_{p \in 𝒫} p^{k_{p}}$ où $𝒫$ est l'ensemble des nombres premiers positifs et $(k_{p})_{p \in 𝒫}$ est une famille presque nulle d'entiers naturels,
un polynôme est une expression de la forme $\sum_{i \in ℕ} a_{i} X^{i}$ avec $(a_{i})_{i \in ℕ}$ une famille presque nulle,
dans un espace vectoriel, une combinaison linéaire d'une infinité de vecteurs $(v_{i})_{i \in I}$ est une expression de la forme $\sum_{i \in I} λ_{i} v_{i}$ avec $(λ_{i})_{i \in I}$ une famille presque nulle de scalaires,
en algèbre générale, la définition de somme directe fait également intervenir la notion de famille presque nulle.

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