Fenêtrage
En traitement du signal, le fenêtrage est utilisé dès lors que l'on s'intéresse à un signal de longueur volontairement limitée. En effet, un signal réel ne peut qu'avoir une durée limitée dans le temps ; de plus, un calcul ne peut se faire que sur un nombre fini de points.
Principe
modifierPour observer un signal sur une durée finie, on le multiplie par une fonction fenêtre d'observation (également appelée fenêtre de pondération ou d'apodisation[1]). La plus simple est la fenêtre rectangulaire (ou porte), définie telle que :
![{\displaystyle h(t)={\begin{cases}1&{\mbox{ si }}t\in [T_{1},T_{2}]\\0&{\mbox{ sinon.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b11ea8a60eab6af8cd33cd15eb51dcf9aab5aff5)
Ainsi, quand on multiplie un signal s(t) par cette fenêtre, on n'obtient plus que la partie comprise entre T1 et T2 de ce signal : on l'« observe » sur une durée allant de T1 à T2. Toute observation étant de durée limitée, on applique forcément une fenêtre par rapport à un signal théorique infini ; on utilise donc au moins une fenêtre, même si on l'applique sans s'en rendre compte.
Au lieu d'étudier le signal s(t), on étudie le signal tronqué : sh(t) = s(t)h(t) ; en passant dans le domaine fréquentiel via une transformée de Fourier (TF), on obtient[2],[3] le produit de convolution Sh(h) = (S ∗ H)(f), où H(f) est la transformée de Fourier de la fenêtre h.
L'utilisation d'une fenêtre de pondération va donc changer la transformée de Fourier du signal.
Fenêtres courantes
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Fenêtre rectangulaire, qui conduit à l'approximation sigma :
![{\displaystyle h(t)={\begin{cases}1&{\mbox{ si }}t\in [0,T]\\0&{\mbox{ sinon.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/964254a65d6e1bae7b4527331575427f4b5787ab)
Fenêtre triangulaire (de Bartlett) :
![{\displaystyle h(t)={\begin{cases}{\frac {2t}{T}}&{\mbox{ si }}t\in [0,{\frac {T}{2}}[\\{\frac {2(T-t)}{T}}&{\mbox{ si }}t\in [{\frac {T}{2}},T]\\0&{\mbox{ sinon.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/519230dcea165dde6925ab2e55a48568130f6c24)
Fenêtre de Hann :
![{\displaystyle h(t)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cos(2\pi {\frac {t}{T}})&{\mbox{ si }}t\in [0,T]\\0&{\mbox{ sinon.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31b97b222e73ba364736afbf311d98c4c6296544)
![{\displaystyle h(t)={\begin{cases}0,54-0,46\cos(2\pi {\frac {t}{T}})&{\mbox{ si }}t\in [0,T]\\0&{\mbox{ sinon.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/684158a58dc7039684e864598023762b74f13d4d)
Fenêtre de Blackman :
![{\displaystyle h(t)={\begin{cases}0,42-0,5\cos(2\pi {\frac {t}{T}})+0,08\cos(4\pi {\frac {t}{T}})&{\mbox{ si }}t\in [0,T]\\0&{\mbox{ sinon.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de4fd3179baabe1b5d146f5686ade368b035bc55)
Et d'autres : fenêtres de Kaiser (en) (de paramètre ), gaussienne, flat top, en cosinus relevé…
À noter : la fenêtre de Hann est quelquefois appelée « fenêtre de Hanning », peut-être par analogie avec la « fenêtre de Hamming[4] ». C'est incorrect, ces noms sont en fait issus des noms de leurs inventeurs (respectivement Julius von Hann et Richard Hamming).
Dans le domaine des fréquences
modifierLa TF du signal analysé est convoluée avec la TF de la fenêtre ; dans l'idéal, pour ne pas biaiser le spectre initial, il faudra que l'allure de la fenêtre spectrale soit une fonction de Dirac. Or, un tel signal temporel est un signal constant infini, ce qui est impossible en pratique.
Les allures spectrales des fenêtres de pondérations présentent une succession de lobes : pour se rapprocher d'une fonction de Dirac, il faut que le lobe principal soit le plus étroit possible, tandis que les lobes secondaires doivent être les plus faibles possible. Plus le lobe principal d'une fenêtre aura tendance à être étroit, plus ses lobes secondaires seront importants. Il y a donc toujours un compromis à faire entre largeur du lobe principal et importance des lobes secondaires.
Quelques visualisations dans le domaine des fréquences, les représentations sont linéaires à gauche, logarithmiques à droite (cliquez pour agrandir) :
-
Echelle linéaire -
Echelle logarithmique
On remarque que la fenêtre rectangulaire a le lobe principal le plus étroit, mais ses lobes secondaires sont les plus importants ; au contraire, celle de Blackman a les plus faibles lobes secondaires, mais un lobe principal plus large. Le type de fenêtre est à choisir selon ce qu'on souhaite observer d'un spectre : la localisation des maximums, la localisation de l'énergie selon les fréquences, la valeur des maximums, etc.
| Fenêtre | Lobe 2aire (dB) | Pente (dB/oct) | Bande passante (bins) | Perte au pire des cas (dB) |
|---|---|---|---|---|
| Rectangulaire | −13 | −6 | 1,21 | 3,92 |
| Triangulaire | −27 | −12 | 1,78 | 3,07 |
| Hann | −32 | −18 | 2,00 | 3,18 |
| Hamming | −43 | −6 | 1,81 | 3,10 |
| Blackman-Harris 3 | −67 | −6 | 1,81 | 3,45 |
Influence de la taille de la fenêtre
modifierPlus la fenêtre choisie aura une grande durée temporelle, plus elle sera étroite dans le domaine fréquentiel. Ainsi, en prenant une fenêtre infiniment longue temporellement, on aboutit à la limite à un Dirac en fréquence, qui est l'élément neutre du produit de convolution.
Ainsi, pour une fenêtre infiniment longue, on retrouve le spectre « réel » du signal analysé, qui correspond effectivement à la TFD d'un signal de durée infinie.
Références
modifierBibliographie
modifier- (en) Cornelius Lanczos, Linear differential operators, Londres & New York, éd. van Nostrand, (réimpr. 1997) (ISBN 0-486-68035-5), « Local smoothing by integration »
- (en) Forman S. Acton, Numerical Methods that (usually) Work, Washington(D.C.), The Mathematical Association of America, (réimpr. 1997), 549 p. (ISBN 0-88385-450-3, lire en ligne), « Fourier Series »
Notes
modifier- J.-Ph. Perez, Optique géométrique, matricielle et ondulatoire, Paris, Masson, (ISBN 9782225801815), « Notions sur la formation des images en optique ondulatoire », p. 298
- (en) R. W. Hamming, Numerical Methods for Scientists and Engineers, McGraw-Hill, (réimpr. 1973) (ISBN 0486652416), « 34. The Fourier Integral: Nonperiodic Functions »
- (en) L. R. Rabiner et B. Gold, Theory and applications of digital signal processing, Englewood Cliffs, NJ, Prentice-Hall Inc., , « 3 »
- La confusion va même parfois jusqu'à appeler la fenêtre de Hann, « fenêtre de Hamming » : par ex. (en) Hungjoo Kwon et Changbin Joh, « 3D Internal Visualization of Concrete Structure Using Multifaceted Data for Ultrasonic Array Pulse-Echo Tomography », Sensors, vol. 21, no 6681, , p. 6
