Fonction coercive

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, une fonction réelle est dite coercive si « elle tend vers l'infini à l'infini », éventuellement dans une partie spécifiée de l'ensemble de départ (définition 1). Cette notion est employée sous cette forme dans deux ouvrages de P.G. Ciarlet (1982 et 1990).

Une définition différente mais équivalente pour les formes bilinéaires est utilisée, par une minoration précise d'une fonction associée à une forme bilinéaire (Dautray et Lions 1985),(Ciarlet et Lions 1991) :

$\forall u\in V,a(u,u)\geq \alpha \vert \vert u\vert \vert _{V}^{2},\alpha >0.$

Par extension, cette deuxième définition s'étend aux fonctions qui ne sont plus quadratiques, et correspond à l'existence d'un $\alpha$ indépendant de $u$ pour la coercivité de la forme quadratique $w\rightarrow (f''(u)w,w)$, cette notion s'appelle aussi $\alpha$-convexité et la notion d'« infini à l'infini » est souvent employée à la place de coercivité pour faire la différence entre des inégalités précises et un comportement à l'infini. En particulier, une fonction coercive continue sous le sens de la définition 1 a un point de minimum (pas forcément unique) uniquement dans un sous-espace d'un espace vectoriel de dimension finie, alors qu'au sens de la définition 2 le minimum existe et est unique quand $f$ est deux fois dérivable dans tout Hilbert. En analyse fonctionnelle la coercivité est aussi définie pour les opérateurs d’un espace de Hilbert dans lui-même et plus généralement pour les opérateurs d'un espace de Banach dans son dual topologique.

Définition

Une fonction $f$ définie sur un espace normé $X$ à valeurs dans ${\bar {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ est dite coercive sur une partie non bornée $P$ de $X$ si

$\lim _{\|x\|\to +\infty \atop x\in P}f(x)=+\infty$

ou de manière plus précise

$\forall \,\nu \in \mathbb {R} ,\quad \exists \,\rho \geqslant 0:\quad (x\in X~{\mbox{et}}~\|x\|\geqslant \rho )\quad \Longrightarrow \quad f(x)\geqslant \nu .$

Il revient au même de dire que les intersections avec $P$ des ensembles de sous-niveau de la fonction sont bornées :

$\forall \,\nu \in \mathbb {R} ,\qquad \{x\in P:f(x)\leqslant \nu \}~{\mbox{est borné.}}$

Si l'on ne spécifie pas la partie $P$, il est sous-entendu que $P=X$.

On peut aussi étendre la définition à un espace métrique, en remplaçant ${\|x\|\to +\infty } \atop x\in P$ par ${d(x,a)\to +\infty } \atop x\in P$ où $a$ est fixe dans $P$.

Cas d'une forme bilinéaire

Définition

Plus spécifiquement, une forme bilinéaire $a:X\times X\to \mathbb {R}$ est dite coercive si elle vérifie :

$\exists \,\alpha >0,\quad \forall \,x\in X:\qquad a(x,x)\geqslant \alpha \|x\|^{2}.$

Certains auteurs préfèrent utiliser l'appellation $X$-elliptique pour cette dernière définition. Celle-ci intervient entre autres dans le théorème de Lax-Milgram et la théorie des opérateurs elliptiques, ainsi que dans la méthode des éléments finis.

Lien entre les définitions

Dans le cas où $a$ est une forme bilinéaire, en posant $f(u)=a(u,u)$ on a équivalence entre la coercivité de $a$ et celle de $f$. En effet, ${\textstyle \lim _{\|x\|\to \infty }f(x)=+\infty }$ implique qu'il existe $R>0$ tel que ${\textstyle \|x\|\geqslant R\Rightarrow f(x)\geqslant 1}$. Ainsi (en utilisant la variable u),

$\left({\frac {R}{\|u\|}}\right)^{2}a(u,u)=a\left({\frac {R}{\|u\|}}u,{\frac {R}{\|u\|}}u\right)=f\left({\frac {R}{\|u\|}}u\right)\geqslant 1$ et $a(u,u)\geqslant \left({\frac {\|u\|}{R}}\right)^{2}$.

On identifie dès lors : $\alpha =\left({\frac {1}{R}}\right)^{2}$ qui est strictement positif.

Opérateur d’un espace de Hilbert dans lui-même

Un opérateur $A$ d'un espace de Hilbert $H$ dans lui-même est dit coercif ssi

$\lim _{\|x\|\to +\infty }{\frac {\langle A(x),x\rangle }{\|x\|}}=+\infty$

où 〈·, ·〉 désigne le produit scalaire de $H$ et ║·║ la norme associée.

Opérateur d'un espace de Banach dans son dual topologique

Un opérateur $A$ d'un espace de Banach $V$ dans son dual topologique $V^{\prime }$ est dit coercif ssi

$\lim _{\|x\|\to +\infty }{\frac {\langle A(x),x\rangle }{\|x\|}}=+\infty$

où ║·║ désigne la norme de $V$ et pour $x\in V$ et $x^{\prime }\in V^{\prime }$ on pose :

${\displaystyle \langle x^{\prime },x\rangle$ :=x^{\prime }(x)}

Voir aussi

• Théorème de Lax-Milgram
• Méthode des éléments finis
• Théorème de Browder-Minty

Bibliographie

• Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions] (traduit en 8 langues).
• S. Brenner et L. Ridgway Scott: The mathematical analysis of finite elements, Springer 2008.
• R. Dautray et J. L. Lions: Mathematical analysis and numerical methods for science and technology (version en français Masson 1985, en anglais Springer 2000).
• P. G. Ciarlet and J. L. Lions: Handbook of numerical analysis North Holland 1991.

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Coercive Functional », sur MathWorld