Fonction de Hilbert-Samuel

fonction liée aux modules de type fini sur des anneaux locaux noethériens commutatifs

En algèbre commutative, la fonction de Hilbert-Samuel (du nom de David Hilbert et Pierre Samuel[1]), d'un module de type fini non nul sur un anneau local noethérien commutatif et un idéal primordial de est la fonction définie pour tous par :

désigne la longueur sur . Elle est liée à la fonction de Hilbert du module gradué associé par l'identité :

Pour assez grand, elle coïncide avec une fonction polynomiale de degré égale à , souvent appelé polynôme de Hilbert-Samuel (ou polynôme de Hilbert[2]).

Exemples

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Pour l'anneau de séries formelles de puissances à deux variables pris comme un module sur lui-même et l'idéal générés par les monômes et , on a :

[2]

Limite de degré

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Contrairement à la fonction de Hilbert, la fonction de Hilbert – Samuel n'est pas additive sur une séquence exacte. Cependant, il près de l'être en conséquence du lemme d'Artin – Rees. On note le polynôme de Hilbert-Samuel, qui coïncide avec la fonction de Hilbert-Samuel pour les grands entiers.

Théorème — Soit un anneau local noethérien et I un m-idéal primordial. Si :

est une séquence exacte de R-modules de type finie, et si est de longueur fini[3], alors on a[4] :

F est un polynôme de dégré strictement inférieur à celui de et ayant le même coefficient dominant. En particulier, si , alors le degré de est strictement inférieur à celui de .

Preuve : En tensoriant la séquence exacte donnée avec et en calculant le noyau, nous obtenons la séquence exacte :

ce qui nous donne :

.

Le troisième terme à droite peut être estimé par Artin-Rees. En effet, d'après le lemme, pour un grand n et un certain k,

Ainsi,

.

Cela donne la limite de degré souhaitée.

Multiplicité

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Si est un anneau local de dimension de Krull , et un idéal -primordiale, le coefficient dominant de son polynôme de Hilbert est de la forme pour un entier . Cet entier est par définition la multiplicité de l'idéal . Quand est l'idéal maximal de , on dit aussi est la multiplicité de l'anneau local .

La multiplicité d'un point d'un schéma est définie comme étant la multiplicité de l'anneau local correspondant .

Voir aussi

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  • j-multiplicité

Notes et références

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  1. H. Hironaka, Resolution of Singularities of an Algebraic Variety Over a Field of Characteristic Zero: I. Ann. of Math. 2nd Ser., Vol. 79, No. 1. (Jan., 1964), pp. 109-203.
  2. a et b Atiyah, M. F. and MacDonald, I. G. Introduction to Commutative Algebra. Reading, MA: Addison–Wesley, 1969.
  3. Ceci implique que et sont aussi de longueur finie.
  4. Eisenbud, David, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, (ISBN 0-387-94268-8). Lemma 12.3.