Fonction de croissance de von Bertalanffy
En ichtyologie, la fonction de croissance de von Bertalanffy est un modèle mathématique permettant d'évaluer la taille d'un poisson suivant son âge. Elle s'appuie sur l'idée que la croissance est un processus asymptotique où la taille de l'organisme approche une limite supérieure avec le temps. Elle est attribuée à Ludwig von Bertalanffy (1901-1972) qui lui a donné son nom.
La droite est asymptote à la courbe, la tangente à la courbe à l'origine coupe l'asymptote au point d’abscisse .
Dérivée | |
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Primitives |
Ensemble de définition | |
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Ensemble image |
Valeur en zéro | |
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Limite en +∞ | |
Minima |
Asymptotes | |
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Zéros |
L'équation de von Bertalanffy pour la longueur en fonction de l'instant est donnée par[1] : où[2] :
- est la longueur de l'organisme à l'instant .
- est la longueur asymptotique, c'est-à-dire la longueur maximale que l'organisme peut atteindre.
- est le coefficient de croissance qui détermine la rapidité avec laquelle l'organisme atteint
- est l'âge hypothétique auquel la longueur de l'organisme serait nulle (c'est souvent un ajustement pour tenir compte de la phase initiale de croissance).
Exemple
modifierSupposons que, pour une espèce de poisson donnée, les paramètres soient estimés comme suit :
- = 100 cm
- = 0,2 par an
- = -1 an
La longueur du poisson en centimètres à l'année peut être calculée en substituant ces valeurs dans l'équation :
Ainsi, pour :
.
Donc, à l'âge de 5 ans, la longueur moyenne du poisson serait d'environ 69,88 cm.
Utilisation pratique
modifierCette équation est utilisée en écologie et en gestion des pêches pour modéliser la croissance des populations de poissons et d'autres organismes marins. En ajustant les paramètres , , et à des données empiriques, les scientifiques peuvent prédire la taille future des populations et mieux comprendre les dynamiques de croissance dans divers environnements.
Estimation des paramètres
modifierCette fonction dépend de trois paramètres qu'il s'agit d'estimer à l'aide d'observations statistiques.
Le paramètre peut parfois être estimé à zéro ; il suffit pour cela de compter l'âge du poisson seulement à partir du moment où sa croissance est effective.
Les méthodes pour évaluer la taille asymptotique du poisson (, ainsi que son coefficient de croissance , sont nombreuses.
Une de celles-ci consiste à déterminer puis à l'aide de deux régressions linéaires.
Un échantillon de poissons est observé. Ceux-ci sont rangés par tranche d'âge . Pour chaque tranche on calcul la taille moyenne des poissons .
Estimation de K
modifierSi est évalué en amont, la formule de base donne :Les points de coordonnées doivent donc être proches d'une droite ayant -K comme coefficient directeur[1].
Sinon, en observant que et en en prenant le logarithme, il vient :.
En approchant par et par , il vient que les points de coordonnées doivent se trouver proches d'une droite ayant comme coefficient directeur[1].
Estimation de L∞
modifierSi est connu, la formule de base donne :..
et donc :.La taille asymptotique peut alors est évaluée comme la moyenne[1] des .
Notes et références
modifier- Ben Salem et Daget 1991, p. 104.
- « Croissance et exploitation de deux espèces de poissons plats pleuronectiformes des eaux algériennes - Étude de la croissance », sur Institut numérique,
Bibliographie
modifier- Mohamed Ben Salem et Jean Daget, « Nouvelle méthode d'estimation des paramètres de la croissance chez les poissons », Cybium, Société Française d'Ichtyologie, vol. 15, no 2, , p. 103-109 (DOI 10.26028/cybium/1991-152-002, lire en ligne)