Fonction de perturbation

Pour deux paires d'espaces localement convexes séparés $\left(X,X^{*}\right)$ et $\left(Y,Y^{*}\right)$, en posant $f:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$, on peut écrire le problème d'optimisation primal comme

$\inf _{\mathrm {x} \in X}f(x).\,$

Pour un problème sous contraintes, on peut corriger f par f + I_contraintes avec I est la fonction indicatrice de l'espace des contraintes. Une fonction $F:X\times Y\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ est une fonction de perturbation si elle est telle que

$F(\mathrm {x} ,0)=f(\mathrm {x} )$.

Par exemple, pour un problème d'optimisation primal

$\inf _{\mathrm {x} \in X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}\left\{f(\mathrm {x} ),g_{i}(\mathrm {x} )\leq 0,i=1,...,m\right\}$

on définit la fonction de perturbation v comme

$\forall \mathrm {y} =(y_{1},...,y_{m})\in \mathbb {R} ^{m},v(\mathrm {y} )=\inf _{\mathrm {x} \in X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}\left\{f(\mathrm {x} ),g_{i}(\mathrm {x} )\leq y_{i},i=1,...,m\right\}.$

Propriétés

Le problème primal est dit stable si v(0) est fini (le problème a une solution) et s'il existe un réel K tel que

$\forall \mathrm {y} \in (\mathbb {R} ^{m})^{*},v(0)-v(\mathrm {y} )\leq K\|\mathrm {y} \|.$

Exemples

Lagrangien

Soient $(X,X^{*})$ et $(Y,Y^{*})$ deux paires duales. Pour un problème primal donné (minimiser f(x)) et une fonction de perturbation associée (F(x,y)) alors le Lagrangien $L:X\times Y^{*}\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ est le conjugué négatif de F par rapport à y (i.e. le conjugué concave). Le Lagrangien est défini par

$L(x,y^{*})=\inf _{y\in Y}\left\{F(x,y)-y^{*}(y)\right\}.$

En particulier la équation du minmax en dualité faible peut être vue comme

$\sup _{y^{*}\in Y^{*}}-F^{*}(0,y^{*})=\sup _{y^{*}\in Y^{*}}\inf _{x\in X}L(x,y^{*})\leq \inf _{x\in X}\sup _{y^{*}\in Y^{*}}L(x,y^{*})=\inf _{x\in X}F(x,0).$

Si le problème primal est

$\inf _{x:g(x)\leq 0}f(x)=\inf _{x\in X}{\tilde {f}}(x)$

avec${\tilde {f}}(x)=f(x)+I_{\mathbb {R} _{+}^{d}}(-g(x))$, alors si la perturbation est donnée par

$\inf _{x:g(x)\leq y}f(x)$

alors la fonction de perturbation est

$F(x,y)=f(x)+I_{\mathbb {R} _{+}^{d}}(y-g(x)).$

Ainsi la connexion à la dualité lagrangienne peut être vue, comme L peut être changée trivialement en

$L(x,y^{*})={\begin{cases}f(x)+y^{*}(g(x))&{\text{if }}y^{*}\in \mathbb {R} _{+}^{d},\\-\infty &{\text{else}}.\end{cases}}$

Dualité de Fenchel

Pour une fonction f convexe et fermée, on définit la transformée de Fenchel-Rockafellar ou Fenchel-Legendre ou polaire, la fonction

$f^{*}(x)=\sup \langle x,y\rangle -f(y)$

Elle est bien une fonction de perturbation dans le sens où

$f^{*}(0)=-\inf f(x)$

Soient $(X,X^{*})$ et $(Y,Y^{*})$ deux paires duales. On suppose qu'il existe une application linéaire $T:X\to Y$ avec pour opérateur adjoint $T^{*}:Y^{*}\to X^{*}$. On suppose que la fonction objectif primale$f(x)$ (avec les contraintes sous forme de fonctions indicatrices) peut être écrites sous la forme $f(x)=J(x,Tx)$ de sorte que $J:X\times Y\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$. Alors la fonction de perturbation est donnée par

$F(x,y)=J(x,Tx-y).$

En particulier, si la fonction primale est $f(x)+g(Tx)$ alors la fonction de perturbation est donnée par $F(x,y)=f(x)+g(Tx-y)$, qui est la définition traditionnelle de la dualité de Fenchel.