Fonction partielle

relation binaire unique à droite, qui est définie sur une partie de son ensemble de départ (domaine, à gauche de la relation) avec une seule valeur dans son ensemble d'arrivée (codomaine, à droite de la relation)

En mathématiques, une fonction partielle (quelquefois appelée simplement fonction) sur un ensemble donné E est une application définie sur une partie de celui-ci, appelé ensemble de définition (ou domaine de définition) de la fonction partielle.

Exemple d'une fonction partielle

Cette notion apparaît en particulier en théorie de la calculabilité, qui s'intéresse aux fonctions partielles récursives : celles-ci sont définies sur une partie de N, l'ensemble des entiers naturels, ou plus généralement de Np, et l'ensemble de définition d'une fonction partielle récursive ne peut éventuellement pas se définir a priori, c'est-à-dire autrement qu'en indiquant que ce sont les entiers (ou tuples d'entiers) pour lesquels le calcul qui permet de définir la fonction aboutit.

Définitions

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Une fonction partielle d'un ensemble E dans un ensemble F est un couple (Df, f) constitué d'un sous-ensemble Df de E et d'une application de Df dans F. On dit que f est définie en xE quand xDf, et Df est appelé ensemble de définition de f[1].

Un exemple de fonction partielle est la fonction nulle part définie, celle dont le domaine de définition est vide.

Une fonction f de E dans F est dite totale quand f est partout définie sur E, c'est-à-dire que E = Df[2].

Notes et références

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  1. (en) Yuri Manin, A Course in Mathematical Logic, Neal Koblitz (trans.), New York, Springer-Verlag, 1977, p. 178.
  2. (en) P. Odifreddi, Classical Recursion Theory, North-Holland, 1989 (ISBN 0-44487-295-7), p. 129, dans le cas des fonctions partielles récursives.

Articles connexes

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