Fonction quantile

En probabilités, la fonction quantile est une fonction qui définit les quantiles.

Fonction quantile

Représentation graphique de la fonction quantile d'une loi normale d'espérance 0 et de variance 1

Notation	$Q(q)=F^{\leftarrow }(q)$

Principales caractéristiques

Ensemble de définition	$[0;1]$

Définition formelle

Soit X une variable aléatoire et F sa fonction de répartition, la fonction quantile est définie par

$Q(q)=F^{\leftarrow }(q)=\inf \left\{x:F(x)\geqslant q\right\}$

pour toute valeur de $q\in [0,1]$, la notation $F^{\leftarrow }$ désignant l’inverse généralisé à gauche de $F$.

Si F est une fonction strictement croissante et continue, alors $Q(q)$ est l'unique valeur de $x$ telle que $F(x)=q$. $F^{\leftarrow }$ correspond alors à la fonction réciproque de $F$, notée $F^{-1}$. En revanche, pour les lois discrètes, les fonctions de répartition sont toutes en escalier, d'où l'intérêt de la définition précédente.

On dit que :

• $Q(0,\!5)$ est la médiane ;
• $Q(0,\!25)$ le premier quartile ;
• $Q(0,\!75)$ le troisième quartile ;
• $Q(0,\!1)$ le premier décile et
• $Q(0,\!9)$ le neuvième décile.

Exemples

Lois continues

Par exemple, la fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre λ est :

$F(x;\lambda )=1-{\rm {e}}^{-\lambda x}1\!\!1_{x\geq 0}$

La fonction quantile de cette loi revient, pour une valeur 0 ≤ p < 1, la valeur Q tel que $1-{\rm {e}}^{-\lambda Q}=p$ soit :

$Q(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},\!$

Les quartiles sont donc :

• premier quartile (p = 1/4): $-\ln(3/4)/\lambda \,$
• médiane (p = 2/4) : $-\ln(1/2)/\lambda \,$
• troisième quartile (p = 3/4) : $-\ln(1/4)/\lambda .\,$

De la même façon, on obtient les fonctions quantiles des lois suivantes :

• loi de Cauchy de paramètres x₀ et a

  $Q(p;x_{0},a)=x_{0}+a\tan \left(\pi \left(p-{\frac {1}{2}}\right)\right)$

• loi logistique de paramètres μ et s

  $Q(p;\mu ,s)=\mu +2s\operatorname {artanh} (2p-1)$

• loi de Laplace

  $Q(p;\mu ,b)=\mu -b\,\operatorname {sgn}(p-0,5)\,\ln(1-2|p-0,5|).$

Loi de Tukey-lambda

La loi de Tukey-lambda est définie par sa fonction quantile :

$Q(p;\lambda )={\frac {p^{\lambda }-(1-p)^{\lambda }}{\lambda }},\ \lambda \in \mathbb {R}$

Voir aussi

Articles connexes

• Fonction de répartition
• Quantile
• Régression quantile

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Quantile Function », sur MathWorld