Fonction sombrero

Une fonction sombrero (parfois appelée fonction besinc ou fonction jinc) est l'analogue bidimensionnel en coordonnées polaires de la fonction sinc et est ainsi appelée parce qu'elle a la forme d'un sombrero. Cette fonction est fréquemment utilisée dans le traitement d'images. Elle peut être définie via la fonction de Bessel du premier type où ρ² = x² + y² .

Fonction sombrero 3D

$\operatorname {somb} (\rho )={\frac {2J_{1}(\pi \rho )}{\pi \rho }}$ .

Le facteur de normalisation 2 fait somb(0) = 1. Parfois, le facteur π est omis, ce qui donne la définition alternative suivante :

$\operatorname {somb} (\rho )={\frac {2J_{1}(\rho )}{\rho }}.$

Le facteur 2 est également souvent omis, donnant encore une autre définition et faisant que le maximum de la fonction est de 0,5 :

$\operatorname {somb} (\rho )={\frac {J_{1}(\rho )}{\rho }}.$

Propriétés

Dérivée

On a :

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \rho }}\left({\frac {J_{1}(\rho )}{\rho }}\right)=-{\frac {J_{2}(\rho )}{\rho }}$

Équivalents

On a:

${\frac {J_{1}(\rho )}{\rho }}\ {\underset {\rho \rightarrow 0}{\sim }}\ {\frac {1}{2}}\cos \left({\frac {\rho }{2}}\right)\ {\underset {\rho \rightarrow 0}{\sim }}\ {\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {\rho ^{2}}{8}}\right)\quad ,\quad {\frac {J_{1}(\rho )}{\rho }}{\underset {\rho \rightarrow \infty }{\sim }}{\frac {1}{2}}\cos \left(|\rho |-{\frac {3\pi }{4}}\right){\sqrt {\frac {2}{\pi |\rho |^{3}}}}$

Transformée de Fourier

La transformée de Fourier de la fonction sombrero est :

${\mathcal {F}}(\mathrm {somb} )(f)={\frac {\sqrt {1-f^{2}}}{\pi }}1\!\!1_{]-1;1[}(f).$

Démonstration

Pour la dérivée, on utilise les relations de récurrence entre les différentes fonctions de Bessel :

${2J_{1}(\rho ) \over \rho }=J_{0}(\rho )+J_{2}(\rho )$,

dont on déduit :

$\mathrm {somb} '(\rho )={\frac {1}{2}}(J_{0}'(\rho )+J_{2}'(\rho ))={\frac {1}{2}}\left[-J_{1}(\rho )+\left(J_{1}(\rho )-{\frac {2}{\rho }}J_{2}(\rho )\right)\right]=-{\frac {J_{2}(\rho )}{\rho }}.$

Pour la transformée de Fourier, on calculera plutôt la transformée inverse :

${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{+\infty }{\sqrt {1-f^{2}}}1\!\!1_{]-1;1[}(f)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} fx}\mathrm {d} f&=2\int _{0}^{1}{\sqrt {1-f^{2}}}\cos(fx)\mathrm {d} f\\&{\underset {f=\cos \theta }{=}}2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2}\theta \cos(x\cos \theta )\mathrm {d} \theta \\&=2\times {\frac {\pi }{2}}{\frac {J_{1}(x)}{x}}\end{aligned}}$

Applications

La transformée de Fourier de la fonction cercle 2D est une fonction sombrero. Celle-ci apparait donc dans le profil d'intensité de la diffraction d'un champ lointain par une ouverture circulaire, qu'on appelle une tache d'Airy.

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Jinc Function », sur MathWorld
• Jinc function sur le blog de John D. Cook

Références

• (en) Qing Cao, « Generalized Jinc functions and their application to focusing and diffraction of circular apertures », Journal of the Optical Society of America A, vol. 20, n^o 4,‎ 2003, p. 661-667 (lire en ligne)