Fonction C∞ à support compact

En mathématiques, une fonction $C^{\infty }$ à support compact (également appelée fonction test) est une fonction infiniment dérivable dont le support est compact.

Représentation graphique d'une fonction $C^{\infty }$ à support compact à deux variables.

Ces fonctions sont au cœur de la théorie des distributions, puisque ces dernières sont construites comme éléments du dual topologique de l'espace des fonctions tests.

Les fonctions $C^{\infty }$ à support compact sont également utilisées pour construire des suites régularisantes et des partitions de l'unité de classe $C^{\infty }$.

Si Ω est un ouvert non vide de $\mathbb {R} ^{n}$, l'espace des fonctions $C^{\infty }$ à support compact de $\Omega$ dans $\mathbb {R}$ est noté $C_{C}^{\infty }(\Omega )$, $C_{0}^{\infty }(\Omega )$ ou ${\mathcal {D}}(\Omega )$.

Exemples

Graphe de la fonction $\Psi$.

La fonction d'une variable ${\displaystyle \Psi$ :\mathbb {R} \to \mathbb {R} } définie par

$\Psi (x)={\begin{cases}{\rm {e}}^{-{\frac {1}{(1-x^{2})}}}&{\mbox{ si }}|x|<1\\0&{\mbox{ sinon}}\end{cases}}$

est à support compact. La preuve qu'elle est infiniment dérivable peut se faire par récurrence. Par ailleurs, la fonction peut être vue comme la fonction gaussienne $\mathrm {e} ^{-y^{2}}$ qu'on a « fait rentrer dans le disque unité » par le changement de variables $y^{2}={\frac {1}{1-x^{2}}}$ qui envoie $x=\pm 1$ sur $y=\infty$.

Un exemple simple de fonction $C^{\infty }$ à support compact à $n$ variables est obtenu en prenant le produit de $n$ copies de la fonction à une variable ci-dessus :

$\Phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\Psi (x_{1})\Psi (x_{2})\cdots \Psi (x_{n})$.

Sur $\Omega =\mathbb {R} ^{n}$, la fonction

$x\mapsto {\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-\|x\|^{2}}}\right)&{\text{si }}\|x\|<1\\0&{\text{sinon}}\end{cases}}$

est $C^{\infty }$ et son support est la boule fermée $\mathrm {B} (0,1)$ pour la norme $\|\cdot \|$ utilisée.

Propriétés

• Une fonction $C^{\infty }$ à support compact ne peut pas être analytique, à moins d'être identiquement nulle. C'est une conséquence directe du théorème d'identité.
• L'espace des fonctions $C^{\infty }$ à support compact est stable par de nombreuses opérations. Par exemple, la somme, le produit, le produit de convolution de deux fonctions $C^{\infty }$ à support compact est encore une fonction $C^{\infty }$ à support compact.

Topologie

On munit ${\mathcal {D}}(\Omega )$ de la topologie suivante : les voisinages d'un élément de l'espace sont — comme dans tout groupe topologique — les translatés par cet élément des voisinages de 0, et un ensemble $V\subset {\mathcal {D}}(\Omega )$ est un voisinage de la fonction nulle si, pour tout compact $K$ de $\Omega$, il existe un entier $m>0$ tel que $V$ contienne l'ensemble suivant :

$A_{K,m}:=\left\{\varphi \in {\mathcal {D}}_{K}(\Omega )~\left|~\max _{\alpha \in \mathbb {N} ^{N} \atop |\alpha |\leq m}\|\partial ^{\alpha }\varphi \|_{\infty }\leq {\frac {1}{m}}\right.\right\}$,

où ${\mathcal {D}}_{K}(\Omega )$ désigne l'ensemble des fonctions de ${\mathcal {D}}(\Omega )$ dont le support est inclus dans $K$, et $\|f\|_{\infty }$ est la norme de $f$ au sens de la convergence uniforme (pour $f$ continue à support compact, c'est le maximum global de $|f|$).

Autrement dit, si $\Omega$ est la réunion d'une suite croissante de compacts $K_{n}$, une base de voisinages de 0 est constituée des $V_{m}:=\cup _{n\in \mathbb {N} }A_{K_{n},m_{n}}$, quand $m=\left(m_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ parcourt l'ensemble (non dénombrable) des suites à valeurs dans $\mathbb {N} ^{*}$.

Muni de cette topologie, ${\mathcal {D}}(\Omega )$ est un espace localement convexe, non métrisable puisqu'il est maigre dans lui-même et séquentiellement complet (il est même complet).

Dans ${\mathcal {D}}(\Omega ),$ la convergence vers 0 d'une suite de fonctions $\varphi _{n}$ se traduit par l'existence d'un compact $K$ de $\Omega$, contenant les supports de toutes les $\varphi _{n}$ à partir d'un certain rang, et tel que $\varphi _{n}$ ainsi que toutes ses dérivées tendent vers 0 uniformément sur $K$.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Bump function » (voir la liste des auteurs).

Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Distribution (mathématiques) » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Articles connexes

• Fonction régulière non analytique