Fonction C∞ à support compact

En mathématiques, une fonction C^∞ à support compact (également appelée fonction test) est une fonction infiniment dérivable dont le support est compact.

Représentation graphique d'une fonction C^∞ à support compact à deux variables.

Ces fonctions sont au cœur de la théorie des distributions, puisque ces dernières sont construites comme éléments du dual topologique de l'espace des fonctions tests.

Les fonctions C^∞ à support compact sont également utilisées pour construire des suites régularisantes et des partitions de l'unité de classe C^∞.

Si Ω est un ouvert non vide de ℝⁿ, l'espace des fonctions C^∞ à support compact de Ω dans ℝ est noté C^∞
_c(Ω), C^∞
₀(Ω) ou 𝒟(Ω).

Exemples

Graphe de la fonction Ψ.

La fonction d'une variable $\Psi :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ définie par

$\Psi (x)={\begin{cases}{\rm {e}}^{-1/(1-x^{2})}&{\mbox{ si }}|x|<1\\0&{\mbox{ sinon}}\end{cases}}$

est à support compact. La preuve qu'elle est infiniment dérivable peut se faire par récurrence. Par ailleurs, la fonction peut être vue comme la fonction gaussienne e^–y2 qu'on a « fait rentrer dans le disque unité » par le changement de variables y² = 1/(1 – x²) qui envoie x = ±1 sur y = ∞.

Un exemple simple de fonction C^∞ à support compact à n variables est obtenu en prenant le produit de n copies de la fonction à une variable ci-dessus :

$\Phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\Psi (x_{1})\Psi (x_{2})\cdots \Psi (x_{n}).$

Sur Ω = ℝⁿ, la fonction

$x\mapsto {\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-\|x\|^{2}}}\right)&{\text{si }}\|x\|<1\\0&{\text{sinon}}\end{cases}}$

est C^∞ et son support est la boule fermée B(0, 1) pour la norme ║.║ utilisée.

Propriétés

• Une fonction C^∞ à support compact ne peut pas être analytique, à moins d'être identiquement nulle. C'est une conséquence directe du théorème d'identité.
• L'espace des fonctions C^∞ à support compact est stable par de nombreuses opérations. Par exemple, la somme, le produit, le produit de convolution de deux fonctions C^∞ à support compact est encore une fonction C^∞ à support compact.

Topologie

On munit 𝒟(Ω) de la topologie suivante : les voisinages d'un élément de l'espace sont — comme dans tout groupe topologique — les translatés par cet élément des voisinages de 0, et un ensemble $V\subset {\mathcal {D}}(\Omega )$ est un voisinage de la fonction nulle si, pour tout compact K de Ω, il existe un entier m > 0 tel que V contienne l'ensemble suivant :

$A_{K,m}:=\left\{\varphi \in {\mathcal {D}}_{K}(\Omega )~\left|~\max _{\alpha \in \mathbb {N} ^{N} \atop |\alpha |\leq m}\|\partial ^{\alpha }\varphi \|_{\infty }\leq 1/m\right.\right\},$

où ${\mathcal {D}}_{K}(\Omega )$ désigne l'ensemble des fonctions de ${\mathcal {D}}(\Omega )$ dont le support est inclus dans K, et ‖f‖_∞ est la norme de f au sens de la convergence uniforme (pour f continue à support compact, c'est le maximum global de |f|).

Autrement dit, si Ω est la réunion d'une suite croissante de compacts K_n, une base de voisinages de 0 est constituée des $V_{m}:=\cup _{n\in \mathbb {N} }A_{K_{n},m_{n}}$, quand $m=(m_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ parcourt l'ensemble (non dénombrable) des suites à valeurs dans ℕ*.

Muni de cette topologie, ${\mathcal {D}}(\Omega )$ est un espace localement convexe, non métrisable puisqu'il est maigre dans lui-même et séquentiellement complet (il est même complet).

Dans ${\mathcal {D}}(\Omega ),$ la convergence vers 0 d'une suite de fonctions φ_n se traduit par l'existence d'un compact K de Ω, contenant les supports de toutes les φ_n à partir d'un certain rang, et tel que φ_n ainsi que toutes ses dérivées tendent vers 0 uniformément sur K.

Voir aussi

Article connexe

Fonction régulière non analytique

Crédits d'auteurs

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Bump function » (voir la liste des auteurs).

• Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Distribution (mathématiques) » (voir la liste des auteurs).