Formalisme ADM

Le formalisme ADM^[2] est une formulation hamiltonienne de la relativité générale développée en 1959 par Richard Arnowitt, Stanley Deser et Charles W. Misner. Elle joue un rôle important dans les domaines de la gravité quantique et de la relativité numérique (en)^[3].

Le formalisme est présenté en entier dans un chapitre de Gravitation: An introduction to current research (1962)^[4]. Cette présentation a été publiée à nouveau en 2008 par la revue General Relativity and Gravitation (en)^[5].

Le cinquantième anniversaire du formalisme ADM a été célébré du 7 au 9 novembre 2009 à la Texas A&M University^[6].

Formalisme

Le formalisme ADM^[7] est une formulation hamiltonienne de la relativité générale^[8]. Il suppose que l'espace-temps est feuilleté en une famille d'hypersurfaces^[7] de genre espace $\Sigma _{t}$ , marquées par un temps $t$ , et dont les coordonnées de chaque « tranche » sont données par $x^{i}$ .

La décomposition requiert que la variété M soit globalement hyperbolique^[9].

Les variables dynamiques de cette théorie sont données par le tenseur métrique des coupes en 3-D $\gamma _{ij}(t,x^{k})$ ainsi que leur moment conjugué $\pi ^{ij}(t,x^{k})$ . Le formalisme ADM est défini à l'aide de ces variables.

Le formalisme fait intervenir trois fonctions $\left\{\alpha ,\beta ^{i},\gamma _{ij}\right\}$ ^[10]^,^{[N 1]} des coordonnées $\left\{t,x^{i}\right\}$ ^[10] :

$\alpha$ est un scalaire^[11] dit la fonction laps^[7]^,^{[N 2]}. Elle mesure le temps propre entre les coupes voisines^[10]^,^{[N 3]} ;
$\beta ^{i}$ est un vecteur^[11] dit le vecteur décalage^[7]^,^{[N 4]}. Il mesure la vitesse relative entre les observateurs se déplaçant perpendiculairement aux coupes et les courbes de coordonnées spatiales constantes^{[N 5]} ;
$\gamma _{ij}$ est la métrique à trois dimensions^[10]^,^{[N 6]}. Elle mesure les distances propres au sein de la coupe de constante $t=\mathrm {d} x^{0}$ ^[10]^,^{[N 7]}.

Métrique ADM

Les trois fonctions permettent d'écrire la métrique comme suit^[7]^,^[10]^,^[12] :

{\begin{aligned}\mathrm {d} s^{2}=-c\mathrm {d} \tau ^{2}&=-\left(\alpha ^{2}-\beta _{i}\beta ^{i}\right)c^{2}\mathrm {d} t^{2}+2\beta _{i}c\mathrm {d} t\mathrm {d} x^{i}+\gamma _{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}\\&=\left(-\alpha ^{2}+\beta _{i}\beta ^{i}\right)c^{2}\mathrm {d} t^{2}+2\beta _{i}c\mathrm {d} t\mathrm {d} x^{i}+\gamma _{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}\\&=-\alpha ^{2}c^{2}\mathrm {d} t^{2}+\gamma _{ij}\left(\mathrm {d} x^{i}+\beta ^{i}c\mathrm {d} t\right)\left(\mathrm {d} x^{j}+\beta ^{j}c\mathrm {d} t\right)\end{aligned}}

, où

c

est la vitesse de la lumière dans le vide,

avec^[13] :

g_{00}=-\alpha ^{2}+\beta _{i}\beta ^{i},\;g_{0i}=\beta _{i},\;g_{ij}=\gamma _{ij}

,

g^{00}=-{\frac {1}{\alpha ^{2}}},\;g^{0i}={\frac {\beta ^{i}}{\alpha ^{2}}},\;g^{ij}=\gamma ^{ij}-{\frac {\beta ^{i}\beta ^{j}}{\alpha ^{2}}}

,

et^[14] :

{\sqrt {-g}}=\alpha {\sqrt {h}}

.

Une telle métrique est dite métrique ADM^[15]^,^[16]^,^[17].

La représentation matricielle d'une telle métrique est :

g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}\beta ^{2}-\alpha ^{2}&\beta _{i}\\\beta _{i}&\gamma _{ij}\end{pmatrix}}

;

Utilisations

La formalisme permet de définir les grandeurs conservées d'un système isolé : l'énergie (ou la masse), le moment linéaire (c'est-à-dire la quantité de mouvement) et le moment angulaire (c'est-à-dire le moment cinétique)^[18].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « ADM formalism » (voir la liste des auteurs).

Notes

↑ Les trois fonctions $\left\{\alpha ,\beta ^{i},\gamma _{ij}\right\}$ sont aussi notées $\left\{N,N^{i},h_{ij}\right\}$ ^[9].
↑ En anglais : lapse^[10].
↑ Autrement dit, $\alpha$ mesure la différence entre le temps-coordonnée $t$ et le temps propre $\tau$ sur des courbes normales aux hypersurfaces $\Sigma _{t}$ ^[9].
↑ En anglais : shift^[10].
↑ Autrement dit, $\beta ^{i}$ mesure la différence entre un point $P$ de l'espace et le point qu'on atteindrait si, au lieu de suivre $P$ d'une hypersurface à la suivante, on suivait une courbe tangente à la normale $n$ ^[9].
↑ $\gamma _{ij}$ est aussi connue comme la « métrique intrinsèque »^[9] ou comme la « première forme fondamentale »^[9].
↑ Autrement dit, $\gamma _{ij}$ est la métrique induite, sur les hypersurfaces d'espace, par la métrique complète à quatre dimensions $g_{\mu \nu }$ ^[9].

Références

↑ (en) « A Celebration of Current GR Innovation ».
↑ Christian Wüthrich (trad. Soazig Le Biha), À la recherche de l’espace-temps perdu : questions philosophiques concernant la gravité quantique (lire en ligne), chap. 10, p. 380
↑ (en) Arnowitt R., Deser S. et Misner C., « Dynamical Structure and Definition of Energy in General Relativity », Physical Review, vol. 116, n^o 5,‎ 1959, p. 1322–1330 (DOI 10.1103/PhysRev.116.1322, Bibcode 1959PhRv..116.1322A)
↑ (en) Collectif d'auteur, Gravitation : An introduction to current research, New York, Louis Witten, Wiley, 1962 (présentation en ligne), chap. 7, p. 227–265
↑ (en) R. Arnowitt, S. Deser, C. Misner, « Republication of: The dynamics of general relativity », General Relativity and Gravitation, vol. 40, n^o 9,‎ 2008, p. 1997–2027 (DOI 10.1007/s10714-008-0661-1, Bibcode 2008GReGr..40.1997A, arXiv gr-qc/0405109)
↑ (en) « ADM-50: A Celebration of Current GR Innovation », sur adm-50.physics.tamu.edu, 2009.
↑ ^{a b c d et e} Renaux-Petel 2021, p. 195.
↑ Vargas Moniz 2008, sect. 2, p. 709.
↑ ^{a b c d e f et g} Vargas Moniz 2008, sect. 2, § 2.1, p. 709.
↑ ^{a b c d e f g et h} Hawke 2015, part. V, chap. V.15, sect. 2, § 2.1, p. 681, col. 1.
↑ ^{a et b} Laguna 2005, annexe A, p. 168.
↑ Santos-Pereira, Abreu et Ribeiro 2023, sec. 2, p. 844 (1).
↑ Deruelle et Uzan 2018, liv. 3, I^re partie, chap. 4, sec. 4.2, p. 435 (4.9).
↑ Deruelle et Uzan 2018, liv. 3, I^re partie, chap. 4, sec. 4.2, p. 435.
↑ Carlip 2019, chap. 12, sec. 12.1, p. 101.
↑ Ellis, Maartens et MacCallum 2012, chap. 3, sec. 3.3, § 3.3.3, p. 68.
↑ Fazio et Rham-Tolley 2023, chap. 2, sec. 2.1, § 2.1.2, p. 25.
↑ Maggiore 2018, p. 197.

Bibliographie

[Carlip 2019] (en) Steven Carlip, General relativity : a concise introduction, Oxford, OUP, hors coll., janvier 2019, 1^re éd., XI-141 p., 17,1 × 24,6 cm (ISBN 978-0-19-882215-8 et 978-0-19-882216-5, EAN 9780198822158, OCLC 1103604852, DOI 10.1093/oso/9780198822158.001.0001, S2CID 172051386, SUDOC 233763201, présentation en ligne, lire en ligne).
[Deruelle et Uzan 2018] (en) Nathalie Deruelle et Jean-Philippe Uzan (trad. du français par Patricia de Forcrand-Millard), Relativity in modern physics [« Théories de la relativité »], Oxford, OUP, coll. « Oxford graduate texts », août 2018, 1^re éd., XI-691 p., 17,1 × 24,6 cm (ISBN 978-0-19-878639-9, EAN 9780198786399, OCLC 1109749749, BNF 45570670, DOI 10.1093/oso/9780198786399.001.0001, Bibcode 2018rmp..book.....D, S2CID 126350606, SUDOC 229944329, présentation en ligne, lire en ligne).
[Ellis, Maartens et MacCallum 2012] (en) George F. R. Ellis, Roy Maartens et Malcolm A. H. MacCallum, Relativistic cosmology, Cambridge, CUP, hors coll., mars 2012 (réimpr. juin 2021), 1^re éd., XIV-622 p., 15 × 23,5 cm (ISBN 978-0-521-38115-4 et 978-1-108-81276-4, EAN 9780521381154, OCLC 800513810, BNF 43570408, DOI 10.1017/CBO9781139014403, Bibcode 2012reco.book.....E, SUDOC 160539528, présentation en ligne, lire en ligne [PDF]).
[Fazio, Rham et Tolley 2023] (en) Giovanni Fazio, Claudia de Rham et Andrew J. Tolley (éd.), The encyclopedia of cosmology, ensemble 2 : Frontiers in cosmology, vol. 1 : Modified gravity, Singapour, Hackensack et Londres, World Scientific, coll. « World Scientific series in astrophysics », novembre 2023, 1^re éd., XIII-433 p., 17,8 × 25,2 cm (ISBN 978-981-128-261-4, EAN 9789811282614, OCLC 10073441112, DOI 10.1142/13578-vol1, Bibcode 2023ecmg.book.....D, lire en ligne).
[Hawke 2015] (en) Ian Hawke, « Numerical relativity », dans Nicholas J. Higham (éd.), The Princeton companion to applied mathematics, Princeton et Oxford, PUP, septembre 2015, 1^re éd., XVII-994 p., 26 cm (ISBN 978-0-691-15039-0, EAN 9780691150390, OCLC 923003755, DOI 10.1515/9781400874477, SUDOC 190115718, présentation en ligne, lire en ligne), part. V, chap. V.15, p. 680-687.
[Laguna 2005] (en) Pablo Laguna, « Probing space-time through numerical simulations », dans Abhay Ashtekar (éd. et préf.), 100 years of relativity : space-time structure : Einstein and beyond, Singapour, World Scientific, hors coll., novembre 2005, 1^re éd., XVI-510 p., 16,1 × 23,6 cm (ISBN 978-981-256-394-1 et 978-981-270-030-8, EAN 9789812563941, OCLC 64386077, BNF 40158315, DOI 10.1142/5876, Bibcode 2005yrst.book.....A, S2CID 117298488, SUDOC 098526456, présentation en ligne, lire en ligne [PDF]), II^e partie, chap. 6, p. 152-174.
[Maggiore 2018] (en) Michele Maggiore, Gravitational waves, t. II : Astrophysics and cosmology, Oxford, OUP, hors coll., mars 2018, 1^re éd., XIV-820 p., 18,9 × 24,6 cm (ISBN 978-0-19-857089-9, EAN 9780198570899, OCLC 1030746535, BNF 45338294, DOI 10.1093/oso/9780198570899.001.0001, Bibcode 2018gwv..book.....M, S2CID 126375843, SUDOC 225716968, présentation en ligne, lire en ligne).
[Renaux-Petel 2021] Sébastien Renaux-Petel, « Inflation cosmologique », dans Richard Taillet (dir.), L'Univers jeune : cosmologie primordiale, Londres, ISTE, coll. « Encyclopédie / sciences / univers / cosmologie et relativité générale », septembre 2021, 1^re éd., VIII-350 p., 16 × 24,3 cm (ISBN 978-1-78948-032-0, EAN 9781789480320, OCLC 1280457061, BNF 47060200, SUDOC 258148616, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 3, p. 175-265.
[Santos-Pereira, Abreu et Ribeiro 2023] (en) Osvaldo L. Santos-Pereira, Everton M. C. Abreu et Marcelo B. Ribeiro, « Warp drive dynamic solutions considering different fluid sources », dans Remo Ruffini et Gregory Vereshchagin (éd.), On recent developments in theoretical and experimental general relativity, astrophysics, and relativistic field theories, Singapour, Hackensack et Londres, World Scientific, coll. « The Marcel Grossmann meetings / proceeding series » (n^o 16), juillet 2023, 1^re éd., LXXVI-4572 p. (ISBN 978-981-12-6976-9, EAN 9789811269769, OCLC 1346301941, DOI 10.1142/13149, Bibcode 2023mgm..conf.....R, présentation en ligne, lire en ligne [PDF]), partie A, p. 840-855.
[Vargas Moniz 2008] (en) Paulo Vargas Moniz, « Quantum cosmology standpoint », dans Hagen Kleinert, Robert T. Jantzen et Remo Ruffini (éd.), The eleventh Marcel Grossmann meeting on recent developments in theoretical and experimental general relativity, gravitation and relativistic field theories, t. 1^er : Part A, Singapour, Hackensack et Londres, World Scientific, septembre 2008, 1^re éd., LXV-974 p., 26 cm (ISBN 978-981-283-426-3 et 978-981-283427-0, OCLC 494248658, BNF 41318694, DOI 10.1142/6997, SUDOC 131407724, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 32, p. 708-725 (DOI 10.1142/9789812834300_0032, résumé).

[11] Les trois fonctions $\left\{\alpha ,\beta ^{i},\gamma _{ij}\right\}$ sont aussi notées $\left\{N,N^{i},h_{ij}\right\}$ ^[9].

[13] En anglais : lapse^[10].

[14] Autrement dit, $\alpha$ mesure la différence entre le temps-coordonnée $t$ et le temps propre $\tau$ sur des courbes normales aux hypersurfaces $\Sigma _{t}$ ^[9].

[15] En anglais : shift^[10].

[16] Autrement dit, $\beta ^{i}$ mesure la différence entre un point $P$ de l'espace et le point qu'on atteindrait si, au lieu de suivre $P$ d'une hypersurface à la suivante, on suivait une courbe tangente à la normale $n$ ^[9].

[17] $\gamma _{ij}$ est aussi connue comme la « métrique intrinsèque »^[9] ou comme la « première forme fondamentale »^[9].

[18] Autrement dit, $\gamma _{ij}$ est la métrique induite, sur les hypersurfaces d'espace, par la métrique complète à quatre dimensions $g_{\mu \nu }$ ^[9].

[1] (en) « A Celebration of Current GR Innovation ».

[2] Christian Wüthrich (trad. Soazig Le Biha), À la recherche de l’espace-temps perdu : questions philosophiques concernant la gravité quantique (lire en ligne), chap. 10, p. 380

[ADM-3] (en) Arnowitt R., Deser S. et Misner C., « Dynamical Structure and Definition of Energy in General Relativity », Physical Review, vol. 116, n^o 5,‎ 1959, p. 1322–1330 (DOI 10.1103/PhysRev.116.1322, Bibcode 1959PhRv..116.1322A)

[4] (en) Collectif d'auteur, Gravitation : An introduction to current research, New York, Louis Witten, Wiley, 1962 (présentation en ligne), chap. 7, p. 227–265

[5] (en) R. Arnowitt, S. Deser, C. Misner, « Republication of: The dynamics of general relativity », General Relativity and Gravitation, vol. 40, n^o 9,‎ 2008, p. 1997–2027 (DOI 10.1007/s10714-008-0661-1, Bibcode 2008GReGr..40.1997A, arXiv gr-qc/0405109)

[6] (en) « ADM-50: A Celebration of Current GR Innovation », sur adm-50.physics.tamu.edu, 2009.

[Renaux-Petel2021195-7] {a b c d et e} Renaux-Petel 2021, p. 195.

[Vargas_Moniz2008709<span_class="nowrap">sect._2</span>-8] Vargas Moniz 2008, sect. 2, p. 709.

[Vargas_Moniz2008709<span_class="nowrap">sect._2</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;2.1</span>-9] {a b c d e f et g} Vargas Moniz 2008, sect. 2, § 2.1, p. 709.

[Hawke2015681,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;1</span><span_class="nowrap">part._<abbr_class="abbr_"_title="5"_><span_class="romain"_style="text-transform:uppercase">V</span></abbr></span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;V.15</span>,_<span_class="nowrap">sect._2</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;2.1</span>-10] {a b c d e f g et h} Hawke 2015, part. V, chap. V.15, sect. 2, § 2.1, p. 681, col. 1.

[Laguna2005168annexe_A-12] {a et b} Laguna 2005, annexe A, p. 168.

[Santos-PereiraAbreuRibeiro2023844_(1)<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;2-19] Santos-Pereira, Abreu et Ribeiro 2023, sec. 2, p. 844 (1).

[DeruelleUzan2018435_(4.9)<abbr_class="abbr_"_title="livre"_>liv.</abbr>&nbsp;3,_<abbr_class="abbr"_title="première">I<sup>re</sup></abbr>&nbsp;partie,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;4</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;4.2-20] Deruelle et Uzan 2018, liv. 3, I^re partie, chap. 4, sec. 4.2, p. 435 (4.9).

[DeruelleUzan2018435<abbr_class="abbr_"_title="livre"_>liv.</abbr>&nbsp;3,_<abbr_class="abbr"_title="première">I<sup>re</sup></abbr>&nbsp;partie,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;4</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;4.2-21] Deruelle et Uzan 2018, liv. 3, I^re partie, chap. 4, sec. 4.2, p. 435.

[Carlip2019101<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;12</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;12.1-22] Carlip 2019, chap. 12, sec. 12.1, p. 101.

[EllisMaartensMacCallum201268<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;3</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;3.3,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;3.3.3</span>-23] Ellis, Maartens et MacCallum 2012, chap. 3, sec. 3.3, § 3.3.3, p. 68.

[FazioRham-Tolley202325<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;2</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;2.1,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;2.1.2</span>-24] Fazio et Rham-Tolley 2023, chap. 2, sec. 2.1, § 2.1.2, p. 25.

[Maggiore2018197-25] Maggiore 2018, p. 197.

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