Soit
une forme
-linéaire avec
un
-espace vectoriel.
est antisymétrique ssi
![{\displaystyle \forall \sigma \in {\mathfrak {S}}_{n},\;\forall (x_{1},\dots ,x_{n})\in E^{n},\;\epsilon (\sigma )\phi (x_{1},\dots ,x_{n})=\phi (x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08a28a69665bec4d79abdc44bf0be9ee8507100c)
Où
est le groupe symétrique de
.
En particulier puisque pour tout 2-cycle
,
![{\displaystyle \forall (x_{1},\dots ,x_{n})\in E^{n},\;\forall (i,j)\in \mathbb {N} ^{2},\;1\leq i<j\leq n\Rightarrow \;\phi (x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n})=-\phi (x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ece4f9c59eb39d7c8d8b6c5a3e325d10f20d941)
Il y a même équivalence entre les deux assertions, la seconde étant plus simple à manier, c'est généralement la définition retenue.
- Une forme bilinéaire
sur
est dite antisymétrique si :
.
- Le déterminant est une forme multilinéaire antisymétrique.
- Toute forme alternée est antisymétrique. La réciproque est vraie pour les espaces vectoriels réels ou plus généralement lorsque le corps des scalaires est de caractéristique différente de 2.