Forme de Killing

Dans la théorie des algèbres de Lie, la forme de Killing est une forme bilinéaire symétrique naturellement associée à toute algèbre de Lie. Elle reflète un certain nombre de propriétés des algèbres de Lie (semi-simplicité, résolubilité…).

Définition

Soit ${\mathfrak {g}}$ une $K$-algèbre de Lie, où $K$ désigne un corps (commutatif). La représentation adjointe définit pour tout vecteur x de ${\mathfrak {g}}$ un endomorphisme $K$-linéaire ad(x) du $K$-espace vectoriel ${\mathfrak {g}}$ :

${\text{ad}}(x)(y)=[x,y].$

Si ${\mathfrak {g}}$ est de dimension finie, on définit la forme bilinéaire symétrique $\kappa$ définie par :

$\kappa (x,y)={\text{Tr}}\left(ad(x)\circ ad(y)\right)$

la trace du produit des représentations adjointes. Cette forme est appelée forme de Killing de ${\mathfrak {g}}$, aussi parfois notée $\kappa _{\mathfrak {g}}$. La forme de Killing est l'unique forme bilinéaire symétrique sur ${\mathfrak {g}}$ invariante sous l'action des automorphismes de la $K$-algèbre de Lie ${\mathfrak {g}}$ et vérifiant l'identité remarquable :

$\kappa \left([x,y],z\right)=\kappa \left(x,[y,z]\right).$

Curieusement, la forme de Killing a été définie par Élie Cartan, tandis que la matrice de Cartan a été définie par Wilhelm Killing.

Propriétés

• La forme de Killing des idéaux s'obtient par restriction de celle de l'algèbre de Lie. Soit $I$ un idéal de ${\mathfrak {g}}$, alors $\kappa _{I}=\kappa _{|I\times I}$.

• La forme de Killing fournit un critère de semi-simplicité. Une algèbre de Lie ${\mathfrak {g}}$ est semi-simple si et seulement si sa forme de Killing $\kappa _{\mathfrak {g}}$ est non-dégénérée.

• En caractéristique nulle, le critère de Cartan appliqué à la représentation adjointe offre un critère de résolubilité pour la forme de Killing. Une algèbre de Lie ${\mathfrak {g}}$ vérifit que $\kappa _{\mathfrak {g}}(x,y)=0$ pour tous $x\in [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ et $y\in {\mathfrak {g}}$ si et seulement si elle est résoluble.

Articles connexes

• Tenseur de Killing
• Opérateur de Casimir
• Théorème de Lie
• Critère de Cartan