Forme différentielle fermée

Cas des 1-formes

En dimension n, une 1-forme

ω (u) = a_{1} (u) d x_{1} + ... + a_{n} (u) d x_{n}

est fermée si

\forall i < j \leq n \frac{\partial a_{i}}{\partial x_{j}} - \frac{\partial a_{j}}{\partial x_{i}} = 0.

Il y a donc n(n – 1)/2 conditions à satisfaire.

En dimension 1, une 1-forme dérivable $ω = A (x) d x$ est toujours fermée.
En dimension 2, une 1-forme $ω = A (x, y) d x + B (x, y) d y$ est fermée si ${(\frac{\partial A}{\partial y})}_{x} = {(\frac{\partial B}{\partial x})}_{y} .$
En dimension 3, une 1-forme $ω = A (x, y, z) d x + B (x, y, z) d y + C (x, y, z) d z$ est fermée si ${(\frac{\partial A}{\partial y})}_{x, z} = {(\frac{\partial B}{\partial x})}_{y, z}$ ; ${(\frac{\partial A}{\partial z})}_{x, y} = {(\frac{\partial C}{\partial x})}_{y, z}$ ; ${(\frac{\partial B}{\partial z})}_{x, y} = {(\frac{\partial C}{\partial y})}_{x, z},$ ce qui correspond à $\vec{rot} Ω = 𝟎$ avec $Ω = (\begin{matrix} A \\ B \\ C \end{matrix}) .$

Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles [détail des éditions]
Samuel Ferdinand Lubbe, Traité de calcul différentiel et de calcul intégral, Bachelier, 1832 [lire en ligne]